Sean $m, n$ números reales positivos. Se llena una cuadrícula de ${n}\times{n}$ con enteros no negativos de tal manera que la suma de cualesquiera $n$ números que se encuentren en filas distintas y columnas distintas sea exactamente $m$. ¿De cuántas formas distintas se puede llenar la cuadrícula?

2 En cada vértice de un $n$-gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada paso se pueden intercambiar dos fichas adyacentes cualesquiera. Encuentre el número mínimo de pasos necesarios para alcanzar la disposición en la que cada ficha se desplaza $[\frac{n}{2}]$ posiciones en sentido horario desde su posición inicial. Ovchinnikov

1 Sean $a,b,c,d,e,f$ enteros positivos tales que $a+b+c+d+e+f=N$ y $ab+ac+bc=de+df+ef$. Si ${N}\mid{abc+def}$, demuestre que $N$ es compuesto.

11.4 Un tablero de $2025 \times 2025$ está lleno con los números $1, 2, \ldots, 2025$, cada uno apareciendo exactamente $2025$ veces. Demuestre que existe una fila o columna con al menos $45$ números distintos.

5 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todo $ m,n \in \mathbb{N}$ y todo número primo $ p,$ el número $ f(m + n)$ es divisible por $ p$ si y solo si $ f(m) + f(n)$ es divisible por $ p$ . Autor: Mohsen Jamaali y Nima Ahmadi Pour Anari, Irán

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Demuestre que los puntos medios de $AB$ y $CH$ y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CAH$ y $\angle CBH$ se encuentran sobre la misma recta.

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ se cumple la desigualdad $\{n\sqrt{7}\}>\frac{3\sqrt{7}}{14n}$, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

2 Encuentre todos los enteros $k$ tales que existe una sucesión de enteros $\{a_n\}$ que satisface las dos condiciones siguientes: (1) Para todo entero positivo $n$, $a_{n+1}={a_n}^3+ka_n+1$; (2) $|a_n| \leq M$ se cumple para algún número real $M$.

4 Sean $a,b$ enteros positivos arbitrarios. Si $p,q$ son números primos, demuestre que existe un número primo $s$ tal que ${s}\mid{a}^{pq}-{b}^{pq}$ y ${s}\equiv{1}{(mod pq)}$.