7 Para un primo $ p$ y un entero dado $ n$, sea $ \nu_p(n)$ el exponente de $ p$ en la factorización prima de $ n!$ . Dado $ d \in \mathbb{N}$ y $ \{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ un conjunto de $ k$ primos, demuestre que existen infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ d\mid \nu_{p_i}(n)$ para todo $ 1 \leq i \leq k$ . Autor: Tejaswi Navilarekkallu, India ashwath.rabindranath

5 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todo $ m,n \in \mathbb{N}$ y todo número primo $ p,$ el número $ f(m + n)$ es divisible por $ p$ si y solo si $ f(m) + f(n)$ es divisible por $ p$ . Autor: Mohsen Jamaali y Nima Ahmadi Pour Anari, Irán

7 Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros positivos tales que $a>b>c>d$. Dado que $ab+bc+ca+d^2|(a+b)(b+c)(c+a)$, encuentre el valor mínimo de $\Omega(ab+bc+ca+d^2)$. Aquí $\Omega(n)$ denota el número de factores primos que tiene $n$. Por ejemplo, $\Omega(12)=3$.

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Demuestre que los puntos medios de $AB$ y $CH$ y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CAH$ y $\angle CBH$ se encuentran sobre la misma recta.

6 Alice y Bob juegan ahora a un espectáculo de magia. Hay $101$ sombreros diferentes sobre la mesa y forman un círculo. En primer lugar, Bob elige un entero positivo $n$ (Alice no lo conoce). Luego, Bob coloca un conejo debajo de uno de los sombreros y Alice no sabe qué sombrero contiene al conejo. Cada vez, ella puede elegir un sombrero y ver si el conejo está debajo de él. Si no es así, Bob moverá el conejo del sombrero actual al $n$-ésimo sombrero en sentido horario. Repetirán estos pasos hasta que Alice encuentre al conejo. Demuestre que Alice puede encontrar al conejo en $201$ pasos.

2 En cada vértice de un $n$-gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada paso se pueden intercambiar dos fichas adyacentes cualesquiera. Encuentre el número mínimo de pasos necesarios para alcanzar la disposición en la que cada ficha se desplaza $[\frac{n}{2}]$ posiciones en sentido horario desde su posición inicial. Ovchinnikov

10.3 Encuentre todos los enteros positivos $1 \leq k \leq 6$ tales que para cualquier primo $p$, que satisfaga $p^2=a^2+kb^2$ para algunos enteros positivos $a, b$, existan enteros positivos $x, y$, que satisfagan $p=x^2+ky^2$. Observación sobre 10.4 También aparece como ARO 2010 10.4 con la cuadrícula cambiada a $10 \times 10$ y $17$ cambiado a $5$, por lo que no será publicado.

12.4 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(n, k)$ tales que todos los enteros positivos impares $m$ suficientemente grandes son representables como $$m=a_1^{n^2}+a_2^{(n+1)^2}+\ldots+a_k^{(n+k-1)^2}+a_{k+1}^{(n+k)^2}$$ para algunos enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_{k+1}$.

3 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario ($AB \neq BC \neq AC \neq AB$) y sean $O, I, H$ su circuncentro, incentro y ortocentro (punto de intersección de las alturas), respectivamente. Demuestre que: 1) $\angle OIH > 90^0$ (2 puntos), 2) $\angle OIH > 135^0$ (7 puntos). Los puntos para 1) y 2) no son aditivos. Ovchinnikov