4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Su incírculo es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sean $P$, $Q$ y $R$ los circuncentros de los triángulos $AEF$, $BDF$ y $CDE$, respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $PQR$ son semejantes.

4 Determine si existen o no dos conjuntos infinitos disjuntos $ A$ y $ B$ de puntos en el plano que satisfagan las siguientes condiciones: a.) No hay tres puntos en $ A \cup B$ que sean colineales, y la distancia entre cualesquiera dos puntos en $ A \cup B$ es al menos 1. b.) Existe un punto de $ A$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ B,$ y existe un punto de $ B$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ A.$

7 Sea $V$ un conjunto finito y sean $g$ y $f$ dos funciones inyectivas y sobreyectivas de $V$ en $V$. Sean $T$ y $S$ dos conjuntos definidos de la siguiente manera: $S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\}$ y $T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\}$. Sabemos que $S \cup T = V$. Demuestre que para todo $w \in V$: $f(w) \in S$ si y solo si $g(w) \in S$.

2 Encuentre todos los enteros positivos $m$ y $n$ sin divisores comunes mayores que 1 tales que $m^3 + n^3$ divida a $m^2 + 20mn + n^2$. (Profesor Yongjin Song)

5 Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos tales que $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ tal que $ 1\leq i\leq n$ , se cumple que $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestre que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

Sea $w_{0}$ un círculo que existe en el interior del círculo $w$ ( $w$ y $w_{0}$ no tienen el mismo centro). Cada círculo $w_{j}$ ( $j=\overline{1,4}$ ) es tangente a $w_{0}$ y a $w$. Demuestre que los puntos de intersección de las tangentes comunes exteriores de $w_{i}$ y $w_{j}$ ( $1\le i,j\le 4$ ) son concurrentes.

2 Sean $b,n > 1$ enteros. Suponga que para cada $k > 1$ existe un entero $a_k$ tal que $b - a^n_k$ es divisible por $k$. Demuestre que $b = A^n$ para algún entero $A$. Autor: Dan Brown, Canadá

Un cuadrado de $ (n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentre el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas).

2 Si $a_1$, $a_2$ y $a_3$ son números reales no negativos para los cuales $a_1+a_2+a_3=1$, entonces demuestre la desigualdad $a_1\sqrt{a_2}+a_2\sqrt{a_3}+a_3\sqrt{a_1}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. Sean $D, E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $A, B$ y $C$ a los lados opuestos, respectivamente. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $F$ a la recta $DE$. La recta $FP$ y el circuncírculo del triángulo $BDF$ se cortan de nuevo en $Q$. Demuestre que $\angle PBQ = \angle PAD$.