7 Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros positivos tales que $a>b>c>d$. Dado que $ab+bc+ca+d^2|(a+b)(b+c)(c+a)$, encuentre el valor mínimo de $\Omega(ab+bc+ca+d^2)$. Aquí $\Omega(n)$ denota el número de factores primos que tiene $n$. Por ejemplo, $\Omega(12)=3$.

5 Sea un hexágono $ \mathcal{P}$ inscrito en un cuadrado unitario, tal que cada vértice se encuentra en un lado del cuadrado. Se sabe que todos los ángulos interiores del hexágono son iguales. Encuentre el valor máximo posible de la longitud del lado más pequeño de $\mathcal{P}$.

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

6 Alice y Bob juegan ahora a un espectáculo de magia. Hay $101$ sombreros diferentes sobre la mesa y forman un círculo. En primer lugar, Bob elige un entero positivo $n$ (Alice no lo conoce). Luego, Bob coloca un conejo debajo de uno de los sombreros y Alice no sabe qué sombrero contiene al conejo. Cada vez, ella puede elegir un sombrero y ver si el conejo está debajo de él. Si no es así, Bob moverá el conejo del sombrero actual al $n$-ésimo sombrero en sentido horario. Repetirán estos pasos hasta que Alice encuentre al conejo. Demuestre que Alice puede encontrar al conejo en $201$ pasos.

1 Para un entero positivo $n$, sea $S_n=1^{2024}+2^{2024}+ \cdots +n^{2024}$. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$, tales que $S_n$ no es divisible por $1865$ pero $S_{n+1}$ es divisible por $1865$.

2 Encuentre todos los enteros $k$ tales que existe una sucesión de enteros $\{a_n\}$ que satisface las dos condiciones siguientes: (1) Para todo entero positivo $n$, $a_{n+1}={a_n}^3+ka_n+1$; (2) $|a_n| \leq M$ se cumple para algún número real $M$.

9.4 Se da un $K_{2024}$ en el cual cada arista tiene peso $1$ o $2$. Si todo ciclo tiene un peso total par, encuentre el valor mínimo de la suma de todos los pesos en el grafo.

12.4 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(n, k)$ tales que todos los enteros positivos impares $m$ suficientemente grandes son representables como $$m=a_1^{n^2}+a_2^{(n+1)^2}+\ldots+a_k^{(n+k-1)^2}+a_{k+1}^{(n+k)^2}$$ para algunos enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_{k+1}$.

1 En cierto país, las monedas tienen los siguientes valores: $2^0, 2^1, 2^2,\dots 2^{10}$. Un cajero automático tiene $1000$ monedas de cada valor y entrega el dinero usando cada moneda (de cada valor) a lo sumo una vez. Los clientes piden todos los enteros positivos: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ (en este orden) en monedas. a) Determine el primer entero tal que el cajero automático no puede proporcionarlo. b) En el momento en que el primer cliente no puede ser atendido, por falta de monedas, ¿cuáles son las monedas que no están disponibles en el cajero automático?

11.4 Un tablero de $2025 \times 2025$ está lleno con los números $1, 2, \ldots, 2025$, cada uno apareciendo exactamente $2025$ veces. Demuestre que existe una fila o columna con al menos $45$ números distintos.