4 Sean $a,b$ enteros positivos arbitrarios. Si $p,q$ son números primos, demuestre que existe un número primo $s$ tal que ${s}\mid{a}^{pq}-{b}^{pq}$ y ${s}\equiv{1}{(mod pq)}$.

El punto $ P$ se encuentra sobre el lado $ AB$ de un cuadrilátero convexo $ ABCD$. Sea $ \omega$ el incírculo del triángulo $ CPD$, y sea $ I$ su incentro. Suponga que $ \omega$ es tangente a los incírculos de los triángulos $ APD$ y $ BPC$ en los puntos $ K$ y $ L$, respectivamente. Sean $ AC$ y $ BD$ rectas que se cortan en $ E$, y sean $ AK$ y $ BL$ rectas que se cortan en $ F$. Demuestre que los puntos $ E$, $ I$ y $ F$ son colineales. Autor: Waldemar Pompe, Polonia

10.3 Encuentre todos los enteros positivos $1 \leq k \leq 6$ tales que para cualquier primo $p$, que satisfaga $p^2=a^2+kb^2$ para algunos enteros positivos $a, b$, existan enteros positivos $x, y$, que satisfagan $p=x^2+ky^2$. Observación sobre 10.4 También aparece como ARO 2010 10.4 con la cuadrícula cambiada a $10 \times 10$ y $17$ cambiado a $5$, por lo que no será publicado.

5 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todo $ m,n \in \mathbb{N}$ y todo número primo $ p,$ el número $ f(m + n)$ es divisible por $ p$ si y solo si $ f(m) + f(n)$ es divisible por $ p$ . Autor: Mohsen Jamaali y Nima Ahmadi Pour Anari, Irán

1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Demuestre que los puntos medios de $AB$ y $CH$ y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CAH$ y $\angle CBH$ se encuentran sobre la misma recta.

5 Sean $a, b$ números reales con $a \neq 0$ y sea $$P(x)=ax^4-4ax^3+(5a+b)x^2-4bx+b.$$ Demuestre que todas las raíces de $P(x)$ son reales y positivas si y solo si $a=b$.

7 Para un primo $ p$ y un entero dado $ n$, sea $ \nu_p(n)$ el exponente de $ p$ en la factorización prima de $ n!$ . Dado $ d \in \mathbb{N}$ y $ \{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ un conjunto de $ k$ primos, demuestre que existen infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ d\mid \nu_{p_i}(n)$ para todo $ 1 \leq i \leq k$ . Autor: Tejaswi Navilarekkallu, India ashwath.rabindranath

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ se cumple la desigualdad $\{n\sqrt{7}\}>\frac{3\sqrt{7}}{14n}$, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

Sean $m, n$ números reales positivos. Se llena una cuadrícula de ${n}\times{n}$ con enteros no negativos de tal manera que la suma de cualesquiera $n$ números que se encuentren en filas distintas y columnas distintas sea exactamente $m$. ¿De cuántas formas distintas se puede llenar la cuadrícula?

2 a) Encuentre el par(es) de enteros $(x,y)$ tal que: $y^2=x^3+2017$ b) Demuestre que no existen enteros $x$ e $y$, con $y$ no divisible por $3$, tales que: $y^2=x^3-2017$