20 Demuestre que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial. Amir

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentre todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir

29 Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$, con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$, determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, proporcione dichos valores. Amir

37 Encuentre todas las bases de logaritmos para las cuales un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestre que no existe ninguna. Amir

25 Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestre que $p$ es divisible por $1979$.

28 Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice excepto $E$, salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$, se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestre que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

27 Para todo racional $x$ que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$. Amir

33 Demuestre que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$ Amir

32 Sean $n, k \ge 1$ números naturales. Encuentre el número $A(n, k)$ de soluciones en enteros de la ecuación \[|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_k| = n\]

30 Sea $M$ un conjunto de puntos en un plano con al menos dos elementos. Demuestre que si $M$ tiene dos ejes de simetría $g_1$ y $g_2$ que se cortan en un ángulo $\alpha = q\pi$, donde $q$ es irracional, entonces $M$ debe ser infinito.