33 Demuestre que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$ Amir

27 Para todo racional $x$ que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$. Amir

28 Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice excepto $E$, salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$, se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestre que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

25 Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestre que $p$ es divisible por $1979$.

37 Encuentre todas las bases de logaritmos para las cuales un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestre que no existe ninguna. Amir

35 Dada una sucesión $(a_n)$, con $a_1 = 4$ y $a_{n+1} = a_n^2-2$ ($\forall n \in\mathbb{N}$), demuestre que existe un triángulo con longitudes de lado $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$, y que su área es igual a un entero.

29 Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$, con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$, determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, proporcione dichos valores. Amir

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentre todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir

20 Demuestre que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial. Amir

22 Considere dos cuadriláteros $ABCD$ y $A'B'C'D'$ en un plano euclidiano afín tales que $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CD = C'D'$ y $DA = D'A'$. Demuestre que las siguientes dos afirmaciones son verdaderas: (a) Si las diagonales $BD$ y $AC$ son mutuamente perpendiculares, entonces las diagonales $B'D'$ y $A'C'$ también son mutuamente perpendiculares. (b) Si la mediatriz de $BD$ corta a $AC$ en $M$, y la de $B'D'$ corta a $A'C'$ en $M'$, entonces $\frac{\overline{MA}}{\overline{MC}}=\frac{\overline{M'A'}}{\overline{M'C'}}$ (si $MC = 0$ entonces $M'C' = 0$). Amir