12 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ están coloreados de rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados, existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color. Amir

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consiste en varios arcos cerrados. Sea $K$ un conjunto que satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo; $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenece a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestre que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

11 Demuestre que una pirámide $A_1A_2 \ldots A_{2k+1}S$ con aristas laterales iguales y ángulos espaciales iguales entre caras laterales adyacentes es regular. Amir

26 Sea $n$ un entero positivo. Si $4^n + 2^n + 1$ es un número primo, demuestre que $n$ es una potencia de tres. Amir

62 Sea $T$ un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

17 Encuentre los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ($\sqrt t$ significa la raíz cuadrada positiva de $t$). Amir

29 Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$, con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$, determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, proporcione dichos valores. Amir

40 Un polinomio $P(x)$ tiene grado a lo sumo $2k$, donde $k = 0, 1, 2, \cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, demuestre que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]

66 Encuentre todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto. Amir

67 Un círculo $C$ con centro $O$ en la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB, AC$. Si se seleccionan un punto $P$ en $AB$ y un punto $Q$ en $AC$ tales que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$, demuestre que el segmento de recta $PQ$ es tangente al círculo $C$, y demuestre el recíproco. Amir