62 Sea $T$ un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

68 Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determine todos los puntos $R$ del plano $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

39 Una expedición en el desierto acampa en el borde del mismo y debe proveer un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días de caminata del campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede cargar como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua por cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (como mínimo) para lograrlo?

53 Una sucesión infinita creciente de enteros positivos $n_j (j = 1, 2, \ldots )$ tiene la propiedad de que para cierto $c$, \[\frac{1}{N}\sum_{n_j\le N} n_j \le c,\] para todo $N >0$. Demuestre que existen un número finito de sucesiones $m^{(i)}_j (i = 1, 2,\ldots, k)$ tales que \[\{n_1, n_2, \ldots \} =\bigcup_{i=1}^k\{m^{(i)}_1 ,m^{(i)}_2 ,\ldots\}\] y \[m^{(i)}_{j+1} > 2m^{(i)}_j (1 \le i \le k, j = 1, 2,\ldots).\]

72 Sea $f (x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre que si $f (x)= 1979$ para cuatro valores enteros distintos de $x$, entonces $f (x)$ no puede ser igual a $2\times 1979$ para ningún valor entero de $x$.

40 Un polinomio $P(x)$ tiene grado a lo sumo $2k$, donde $k = 0, 1, 2, \cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, demuestre que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consiste en varios arcos cerrados. Sea $K$ un conjunto que satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo; $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenece a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestre que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

46 Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$. $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$, y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común. Amir

12 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ están coloreados de rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados, existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color. Amir

11 Demuestre que una pirámide $A_1A_2 \ldots A_{2k+1}S$ con aristas laterales iguales y ángulos espaciales iguales entre caras laterales adyacentes es regular. Amir