17 Encuentre los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ($\sqrt t$ significa la raíz cuadrada positiva de $t$). Amir

69 Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$, y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$. Demuestre que $N > M$. Amir

4 Sea $n>1$ un entero positivo. Ana y Bob juegan un juego con otras $n$ personas. El grupo de $n$ personas forma un círculo, y Bob colocará un sombrero negro o uno blanco en la cabeza de cada persona. Cada persona puede ver todos los sombreros excepto el suyo propio. Ellos adivinarán el color de su propio sombrero individualmente. Antes de que Bob distribuya sus sombreros, Ana les da a las $n$ personas una estrategia que es la misma para todos. Por ejemplo, podría ser "adivinar el color justo a tu izquierda" o "si ves un número impar de sombreros negros, entonces adivina negro; de lo contrario, adivina blanco". Ana quiere maximizar el número de personas que adivinan el color correcto, y Bob busca lo contrario. Ahora, suponga que Ana y Bob son lo suficientemente inteligentes, y todos siguen una estrategia estrictamente. ¿Cuántas adivinanzas correctas puede garantizar Ana? Propuesto por China.

5 Un torneo $(n, k)$ es una competencia con $n$ jugadores llevada a cabo en $k$ rondas tal que: $(i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $(ii)$ Si el jugador $A$ se enfrenta al jugador $B$ en la ronda $i$, el jugador $C$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $i$, y el jugador $A$ se enfrenta al jugador $C$ en la ronda $j$, entonces el jugador $B$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $j$. Determine todos los pares $(n, k)$ para los cuales existe un torneo $(n, k)$. Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina

4 Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si se cumple que $b + k$ es un múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \}$. Demuestre que existe un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ intersecan al circuncírculo del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ). Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son semejantes.

6 Un triángulo con agujeros es un triángulo equilátero orientado hacia arriba de lado $n$ con $n$ agujeros triangulares unitarios orientados hacia arriba recortados. Un diamante es un rombo unitario de $60^\circ-120^\circ$. Demuestre que un triángulo con agujeros $T$ puede ser recubierto con diamantes si y solo si se cumple la siguiente condición: todo triángulo equilátero orientado hacia arriba de lado $k$ en $T$ contiene a lo sumo $k$ agujeros, para $1\leq k\leq n$. Propuesto por Federico Ardila, Colombia

1 Sea $f(x)$ la distancia de $x$ al cuadrado perfecto más cercano. Por ejemplo, $f(\pi) = 4 - \pi$. Sea $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ y sea $m$ un entero tal que la sucesión $a_n = f(m \; \alpha^n)$ es acotada. Demuestre que $m=k^2$ o $m = 5k^2$ para algún entero $k$. Propuesto por Rodrigo Sanches Angelo (rsa365), Brasil.

9 Los números reales $\alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ son positivos. Sea $h = \frac{n}{1/\alpha_1 + 1/\alpha_2 + \cdots + 1/\alpha_n}$ la media armónica, $g=\sqrt[n]{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_n}$ la media geométrica, y $a=\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}{n}$ la media aritmética. Demuestre que $h \leq g \leq a$, y que cada una de las igualdades implica la otra. Amir

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,i} + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i} + a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentre la matriz M. Amir