4 Sean $z_1, z_2, z_3$ números complejos distintos entre sí que satisfacen $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ y \[\frac{1}{2 + |z_1 + z_2|}+\frac{1}{2 + |z_2 + z_3|}+\frac{1}{2 + |z_3 + z_1|} =1.\] Si los puntos $A(z_1),B(z_2),C(z_3)$ son vértices de un triángulo acutángulo, demuestre que este triángulo es equilátero. Amir

2 Las tres aristas de una pirámide triangular tienen longitudes $a, b$ y $c$ y son perpendiculares entre sí por pares. Determine la altura de la pirámide. Además, demuestre que si la altura de la pirámide es constante, su volumen es mínimo si $a = b = c$.

5 Dados los números $a_1, a_2,..., a_n$ que pertenecen a $\{+1,-1\}$, demuestre la siguiente fórmula: $$2 \sin \left[\left( a_1 + \frac{a_1a_2}{2}+ \frac{a_1a_2a_3}{4}+ ... + \frac{a_1a_2... a_n}{2^{n-1}}\right) \frac{\pi}{4}\right]= a_1\sqrt{2 + a_2\sqrt{2 + a_3\sqrt{2 +... + a_n\sqrt2}}}$$

3 ¿De cuántas maneras directas podemos conectar cada dos de las ciudades A, B y C, si: hay el doble de caminos de A a B (incluyendo los caminos que pasan por C) que de A a C (incluyendo los caminos que pasan por B); por otro lado, hay el doble de caminos directos de B a C que de A a B?

6 Sean $A, B$ y $C$ los vértices de un triángulo y sea $S$ su baricentro. Demuestre que: $$AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3 (SA^2 + SB^2 + SC^2)$$

3 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos tales que $a \cdot b + 1$ divide a $a^{2} + b^{2}$. Demuestre que $\frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

1 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones: $\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$. $\bullet$ $A \cup B \cup C = \{ 1, 2, \dots, n \}$. $\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al ser divididas por $3$. Nota: Uno o más de los conjuntos pueden ser vacíos.

1 Las $4$ palabras clave $$\square * \otimes \,\,\,\, \oplus \rhd \bullet \,\,\,\, * \square \bullet \,\,\,\, \otimes \oslash \oplus$$ están en algún orden $$AMO \,\,\,\, SUR \,\,\,\, REO \,\,\,\, MAS$$ Decifre $$\otimes \oslash \square * \oplus \rhd \square \bullet \otimes $$

5 En el segmento $A C$ se toma un punto $B$. Construya los círculos $T_1, T_2$ y $T_3$ de diámetros $A B, BC$ y $AC$ respectivamente. Una recta que pasa por $B$ corta a $T_3$ en los puntos $P$ y $Q$, y a los círculos $T_1$ y $T_2$ en los puntos $R$ y $S$ respectivamente. Demuestre que $PR = Q S$.

6 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}( 1 + 2 + ... + n )$ y $1 + 2 + ... + (a_1 + a_2) \le \frac{2}{3}( 1 + 2 + ... + n )$. Demuestre que existe una partición de $\{ 1, 2, ... , n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $| A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.