1 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones: $\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$. $\bullet$ $A \cup B \cup C = \{ 1, 2, \dots, n \}$. $\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al ser divididas por $3$. Nota: Uno o más de los conjuntos pueden ser vacíos.

1 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Demuestre que $AP \geq AI$, y que la igualdad se cumple si y solo si $P=I$.

2 Para un conjunto finito $E$ de cardinalidad $n \geq 3$, sea $f(n)$ el número máximo de subconjuntos de $3$ elementos de $E$, tales que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un elemento en común. Calcule $f(n)$. Amir

2 En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada hacia la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ la que interseca a los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K, L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestre que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

2 El Chapulín observó que el número $2014$ tiene una propiedad inusual. Al colocar sus ocho divisores positivos en orden creciente, el quinto divisor es igual a tres veces el tercero menos $4$. Un número de ocho divisores con esta propiedad inusual se llama número rojo. ¿Cuántos números rojos menores que $2014$ existen?

4 A partir de la sucesión $u_1, u_2,..., u_{2^n}$ , donde $n$ es un número natural, con $u_i \in\{+1,-1\}$ para $i = 1, 2,..., 2^n$ se forma la sucesión $u_1u_2$ , $u_2u_3$ , $...$ , $ u_{2^n-1}u_{2^n}$ , $u_{2^n}u_1$ , cuyos miembros son nuevamente $+1$ o $-1$. A partir de esta sucesión, siguiendo la misma regla, se construye una nueva sucesión de la misma manera y así sucesivamente. Demuestre que obtenemos una sucesión que consiste solo en $+1$ después de, a lo sumo, $2^n$ pasos.

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

7 Considere un poliedro convexo sin aristas paralelas y sin ninguna arista paralela a ninguna cara, excepto a las dos caras adyacentes a ella. Llame a un par de puntos del poliedro antipodales si existen dos planos paralelos que pasan por estos puntos y tales que el poliedro está contenido entre estos planos. Sea $A$ el número de pares antipodales de vértices, y sea $B$ el número de pares antipodales de puntos medios de aristas. Determine la diferencia $A-B$ en términos de los números de vértices, aristas y caras. Propuesto por Kei Irei, Japón

3 Kiko y Ñoño juegan con una varilla de longitud $2n$, donde $n \le 3$ es un entero. Kiko corta la varilla en $k \le 2n$ piezas de longitudes enteras. Luego, Ñoño debe organizar estas piezas de modo que formen un hexágono de lados opuestos iguales y ángulos iguales. Las piezas no se pueden dividir y todas deben ser utilizadas. Si Ñoño logra su objetivo, él gana; en cualquier otro caso, Kiko gana. Determine qué victoria puede asegurarse en función de $k$.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B, C$ y suponga que $A$ está dentro de $\omega$. Suponga que $X, Y$ yacen sobre $\omega$ tales que $\angle BXA=\angle AYC$. Suponga también que $X$ y $C$ yacen en lados opuestos de la recta $AB$ y que $Y$ y $B$ yacen en lados opuestos de la recta $AC$. Demuestre que, a medida que $X, Y$ varían sobre $\omega$, la recta $XY$ pasa por un punto fijo. Propuesto por Aaron Thomas, Reino Unido