8 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Un círculo que pasa por los puntos $A$ y $D$ y un círculo que pasa por los puntos $B$ y $C$ son tangentes externamente en un punto $P$ dentro del cuadrilátero. Suponga que \[\angle{PAB}+\angle{PDC}\leq 90^\circ\qquad\text{y}\qquad\angle{PBA}+\angle{PCD}\leq 90^\circ.\] Demuestre que $AB+CD \geq BC+AD$. Propuesto por Waldemar Pompe, Polonia

4 Se elige un punto $D$ en el lado $AC$ de un triángulo $ABC$ con $\angle C < \angle A < 90^\circ$ de tal manera que $BD=BA$. El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sea $J$ el incentro del triángulo $BCD$. Demuestre que la recta $KL$ interseca al segmento $AJ$ en su punto medio.

3 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que \[ \angle BAC = \angle CAD = \angle DAE\qquad \text{y}\qquad \angle ABC = \angle ACD = \angle ADE. \] Las diagonales $BD$ y $CE$ se cortan en $P$. Demuestre que la recta $AP$ biseca al lado $CD$. Propuesto por Zuming Feng, EE. UU.

4 Todos los cuadrados de un tablero de $(n+1)\times(n-1)$ cuadrados están pintados con tres colores de tal manera que, para cualesquiera dos columnas diferentes y cualesquiera dos filas diferentes, los 4 cuadrados en sus intersecciones no tienen todos el mismo color. Encuentre el mayor valor posible de $n$.

10 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$. Valentin

1. En un círculo, $ AB$ y $ AC$ son dos cuerdas de igual longitud. ¿Cuántas cuerdas existen tales que $ AB$ y $ AC$ dividan a dichas cuerdas en tres partes de igual longitud?

9 Los números reales $\alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ son positivos. Sea $h = \frac{n}{1/\alpha_1 + 1/\alpha_2 + \cdots + 1/\alpha_n}$ la media armónica, $g=\sqrt[n]{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_n}$ la media geométrica, y $a=\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}{n}$ la media aritmética. Demuestre que $h \leq g \leq a$, y que cada una de las igualdades implica la otra. Amir

2 En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada hacia la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ la que interseca a los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K, L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestre que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

1 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Demuestre que $AP \geq AI$, y que la igualdad se cumple si y solo si $P=I$.