1 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones: $\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$. $\bullet$ $A \cup B \cup C = \{ 1, 2, \dots, n \}$. $\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al ser divididas por $3$. Nota: Uno o más de los conjuntos pueden ser vacíos.

2 Las tres aristas de una pirámide triangular tienen longitudes $a, b$ y $c$ y son perpendiculares entre sí por pares. Determine la altura de la pirámide. Además, demuestre que si la altura de la pirámide es constante, su volumen es mínimo si $a = b = c$.

7 Considere un poliedro convexo sin aristas paralelas y sin ninguna arista paralela a ninguna cara, excepto a las dos caras adyacentes a ella. Llame a un par de puntos del poliedro antipodales si existen dos planos paralelos que pasan por estos puntos y tales que el poliedro está contenido entre estos planos. Sea $A$ el número de pares antipodales de vértices, y sea $B$ el número de pares antipodales de puntos medios de aristas. Determine la diferencia $A-B$ en términos de los números de vértices, aristas y caras. Propuesto por Kei Irei, Japón

5 Un torneo $(n, k)$ es una competencia con $n$ jugadores llevada a cabo en $k$ rondas tal que: $(i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $(ii)$ Si el jugador $A$ se enfrenta al jugador $B$ en la ronda $i$, el jugador $C$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $i$, y el jugador $A$ se enfrenta al jugador $C$ en la ronda $j$, entonces el jugador $B$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $j$. Determine todos los pares $(n, k)$ para los cuales existe un torneo $(n, k)$. Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina

2 Para un conjunto finito $E$ de cardinalidad $n \geq 3$, sea $f(n)$ el número máximo de subconjuntos de $3$ elementos de $E$, tales que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un elemento en común. Calcule $f(n)$. Amir

4 Sea $n>1$ un entero positivo. Ana y Bob juegan un juego con otras $n$ personas. El grupo de $n$ personas forma un círculo, y Bob colocará un sombrero negro o uno blanco en la cabeza de cada persona. Cada persona puede ver todos los sombreros excepto el suyo propio. Ellos adivinarán el color de su propio sombrero individualmente. Antes de que Bob distribuya sus sombreros, Ana les da a las $n$ personas una estrategia que es la misma para todos. Por ejemplo, podría ser "adivinar el color justo a tu izquierda" o "si ves un número impar de sombreros negros, entonces adivina negro; de lo contrario, adivina blanco". Ana quiere maximizar el número de personas que adivinan el color correcto, y Bob busca lo contrario. Ahora, suponga que Ana y Bob son lo suficientemente inteligentes, y todos siguen una estrategia estrictamente. ¿Cuántas adivinanzas correctas puede garantizar Ana? Propuesto por China.

6 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}( 1 + 2 + ... + n )$ y $1 + 2 + ... + (a_1 + a_2) \le \frac{2}{3}( 1 + 2 + ... + n )$. Demuestre que existe una partición de $\{ 1, 2, ... , n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $| A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.

1. En un círculo, $ AB$ y $ AC$ son dos cuerdas de igual longitud. ¿Cuántas cuerdas existen tales que $ AB$ y $ AC$ dividan a dichas cuerdas en tres partes de igual longitud?

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

1 Sea $f(x)$ la distancia de $x$ al cuadrado perfecto más cercano. Por ejemplo, $f(\pi) = 4 - \pi$. Sea $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ y sea $m$ un entero tal que la sucesión $a_n = f(m \; \alpha^n)$ es acotada. Demuestre que $m=k^2$ o $m = 5k^2$ para algún entero $k$. Propuesto por Rodrigo Sanches Angelo (rsa365), Brasil.