1 Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $AB^2A = AB$. Demuestre que: a) $(AB)^2 = AB$. b) $(AB - BA)^3 = O_n$.

6 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}( 1 + 2 + ... + n )$ y $1 + 2 + ... + (a_1 + a_2) \le \frac{2}{3}( 1 + 2 + ... + n )$. Demuestre que existe una partición de $\{ 1, 2, ... , n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $| A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.

2 Sea $ABCD$ un trapecio con lados paralelos $AB > CD$. Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos de recta $AB$ y $CD$, respectivamente, de tal manera que $AK/KB=DL/LC$. Suponga que existen puntos $P$ y $Q$ en el segmento de recta $KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $B$ y $C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

1 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones: $\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$. $\bullet$ $A \cup B \cup C = \{ 1, 2, \dots, n \}$. $\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al ser divididas por $3$. Nota: Uno o más de los conjuntos pueden ser vacíos.

4 Sea $n>1$ un entero positivo. Ana y Bob juegan un juego con otras $n$ personas. El grupo de $n$ personas forma un círculo, y Bob colocará un sombrero negro o uno blanco en la cabeza de cada persona. Cada persona puede ver todos los sombreros excepto el suyo propio. Ellos adivinarán el color de su propio sombrero individualmente. Antes de que Bob distribuya sus sombreros, Ana les da a las $n$ personas una estrategia que es la misma para todos. Por ejemplo, podría ser "adivinar el color justo a tu izquierda" o "si ves un número impar de sombreros negros, entonces adivina negro; de lo contrario, adivina blanco". Ana quiere maximizar el número de personas que adivinan el color correcto, y Bob busca lo contrario. Ahora, suponga que Ana y Bob son lo suficientemente inteligentes, y todos siguen una estrategia estrictamente. ¿Cuántas adivinanzas correctas puede garantizar Ana? Propuesto por China.

5 Un torneo $(n, k)$ es una competencia con $n$ jugadores llevada a cabo en $k$ rondas tal que: $(i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $(ii)$ Si el jugador $A$ se enfrenta al jugador $B$ en la ronda $i$, el jugador $C$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $i$, y el jugador $A$ se enfrenta al jugador $C$ en la ronda $j$, entonces el jugador $B$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $j$. Determine todos los pares $(n, k)$ para los cuales existe un torneo $(n, k)$. Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina

1 Sea $f(x)$ la distancia de $x$ al cuadrado perfecto más cercano. Por ejemplo, $f(\pi) = 4 - \pi$. Sea $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ y sea $m$ un entero tal que la sucesión $a_n = f(m \; \alpha^n)$ es acotada. Demuestre que $m=k^2$ o $m = 5k^2$ para algún entero $k$. Propuesto por Rodrigo Sanches Angelo (rsa365), Brasil.

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,i} + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i} + a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentre la matriz M. Amir

1 Demuestre que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser disecado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud). Amir

2 Para un conjunto finito $E$ de cardinalidad $n \geq 3$, sea $f(n)$ el número máximo de subconjuntos de $3$ elementos de $E$, tales que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un elemento en común. Calcule $f(n)$. Amir