3 En el rectángulo $ABCD$, $BC = 5$, $EC = 1/3 CD$ y $F$ es el punto donde se cortan $AE$ y $BD$. El triángulo $DFE$ tiene área $12$ y el triángulo $ABF$ tiene área $27$. Encuentre el área del cuadrilátero $BCEF$. https://1.bp.blogspot.com/-4w6e729AF9o/XNY9hqHaBaI/AAAAAAAAKL0/eCaNnWmgc7Yj9uV4z29JAvTcWCe21NIMgCK4BGAYYCw/s400/may%2B2011%2Bl1.png

1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B, C$ y suponga que $A$ está dentro de $\omega$. Suponga que $X, Y$ yacen sobre $\omega$ tales que $\angle BXA=\angle AYC$. Suponga también que $X$ y $C$ yacen en lados opuestos de la recta $AB$ y que $Y$ y $B$ yacen en lados opuestos de la recta $AC$. Demuestre que, a medida que $X, Y$ varían sobre $\omega$, la recta $XY$ pasa por un punto fijo. Propuesto por Aaron Thomas, Reino Unido

1 Demuestre que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser disecado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud). Amir

1 Demuestre que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, cuya suma de longitudes es 1988.

1 Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $AB^2A = AB$. Demuestre que: a) $(AB)^2 = AB$. b) $(AB - BA)^3 = O_n$.

2 En un triángulo $ABC$, la altura desde $A$ corta al circuncírculo nuevamente en $T$. Sea $O$ el circuncentro. Las rectas $OA$ y $OT$ cortan al lado $BC$ en $Q$ y $M$, respectivamente. Demuestre que \[\frac{S_{AQC}}{S_{CMT}} = \biggl( \frac{ \sin B}{\cos C} \biggr)^2 .\] Amir

2 Para números reales positivos $a, b$ y $c$, demuestre que $$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} +\frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} +\frac{c^3}{ c^2 + ca + a^2} \ge\frac{ a + b + c}{3}$$

2 Bob eligió seis de los nueve dígitos del $1$ al $9$ y escribió la lista, ordenada de menor a mayor, de todos los números de tres dígitos que se pueden formar usando los dígitos que eligió. En la lista de Bob, el número $317$ aparece en la posición $22$. ¿Qué número aparece en la posición $60$ en la lista de Bob? Encuentre todas las posibilidades.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $E$ y $F$ puntos sobre $BC$, tales que los ángulos $BAE$ y $FAC$ son iguales. Las rectas $AE$ y $AF$ intersecan al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $M$ y $N$. Sobre los rayos $AB$ y $AC$ tenemos puntos $P$ y $R$, tales que el ángulo $PEA$ es igual al ángulo $B$ y el ángulo $AER$ es igual al ángulo $C$. Sea $L$ la intersección de $AE$ y $PR$, y sea $D$ la intersección de $BC$ y $LN$. Demuestre que $$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|EF|}=\frac{1}{|ED|}.$$

5 Encuentre una sucesión de longitud máxima que consista en enteros distintos de cero en la cual la suma de cualesquiera siete términos consecutivos sea positiva y la de cualesquiera once términos consecutivos sea negativa.