Muestra que para cualquier número natural $n$ existen dos números primos $p$ y $q, p \neq q$, tales que $n$ divide su diferencia.

Sea $T_1$ un triángulo que tiene $a, b, c$ como longitudes de sus lados y sea $T_2$ otro triángulo que tiene $u, v,w$ como longitudes de sus lados. Si $P,Q$ son las áreas de los dos triángulos, demuestra que \[16PQ \leq a^2(-u^2 + v^2 + w^2) + b^2(u^2 - v^2 + w^2) + c^2(u^2 + v^2 - w^2).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Para dos triángulos dados $A_1A_2A_3$ y $B_1B_2B_3$ con áreas $\Delta_A$ y $\Delta_B$, respectivamente, $A_iA_k \ge B_iB_k, i, k = 1, 2, 3$. Demuestra que $\Delta_A \ge \Delta_B$ si el triángulo $A_1A_2A_3$ no es obtusángulo.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $1 \le m < n$. En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $1978^n$. Encuentra $m$ y $n$ tales que $m + n$ tenga su menor valor.

Demuestra que para toda $X > 1$, existe un triángulo cuyos lados tienen longitudes $P_1(X) = X^4+X^3+2X^2+X+1, P_2(X) = 2X^3+X^2+2X+1$, y $P_3(X) = X^4-1$. Demuestra que todos estos triángulos tienen el mismo ángulo mayor y calcúlalo.

Sea $f$ una función inyectiva de ${1,2,3,\ldots}$ en sí mismo. Demuestra que para cualquier $n$ tenemos: $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}.$

En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC$. Un círculo que es internamente tangente con el círculo circunscrito del triángulo es también tangente a los lados $AB, AC$ en los puntos $P,$ respectivamente $Q.$ Demuestra que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC.$

Sea $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ una secuencia con todos sus términos positivos. El $n$-ésimo entero positivo que no pertenece a la secuencia es $f(f(n))+1$. Encuentra $f(240).$

Consideramos un punto fijo $P$ en el interior de una esfera fija. Construimos tres segmentos $PA, PB, PC$, perpendiculares dos a dos, con los vértices $A, B, C$ en la esfera. Consideramos el vértice $Q$ que es opuesto a $P$ en el paralelepípedo (con ángulos rectos) con $PA, PB, PC$ como aristas. Encuentra el lugar geométrico del punto $Q$ cuando $A, B, C$ toman todas las posiciones compatibles con nuestro problema.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $1 \le m < n$. En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $1978^n$. Encuentra $m$ y $n$ tales que $m + n$ tenga su valor mínimo.