Sean $AA',BB', CC'$ las bisectrices de los ángulos de un triángulo $ABC \ (A' \in BC, B' \in CA, C' \in AB)$. Demuestre que cada una de las rectas $A'B', B'C', C'A'$ interseca a la circunferencia inscrita en dos puntos.

Determine todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ que satisfacen la ecuación $p^x - y^3 = 1$, donde $p$ es un número primo dado.

Dado un entero positivo $n$, encuentre el entero más grande $p$ con la propiedad de que para cualquier función $f : \mathbb P(X) \to C$, donde $X$ y $C$ son conjuntos de cardinalidad $n$ y $p$, respectivamente, existen dos conjuntos distintos $A,B \in \mathbb P(X)$ tales que $f(A) = f(B) = f(A \cup B)$. ( $\mathbb P(X)$ es la familia de todos los subconjuntos de $X$. )

Demuestre la desigualdad \n\[(-a+b+c)^2(a-b+c)^2(a+b-c)^2 \geq (-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\] para todos los números reales $a, b, c.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices no se encuentran en un círculo. Sea $A'B'C'D'$ un cuadrángulo tal que $A',B', C',D'$ son los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCD,ACD,ABD$, y $ABC$. Escribimos $T (ABCD) = A'B'C'D'$. Definamos $A''B''C''D'' = T (A'B'C'D') = T (T (ABCD)).$ (a) Demuestre que $ABCD$ y $A''B''C''D''$ son similares. (b) La razón de similitud depende del tamaño de los ángulos de $ABCD$. Determine esta razón.

Encuentre cuatro enteros positivos, cada uno no mayor que $70000$ y cada uno con más de $100$ divisores.

En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita toca los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente; la circunferencia exinscrita en el ángulo $A$ toca las líneas que contienen estos lados en $A_1,B_1, C_1$, y de manera similar, las circunferencias exinscritas en los ángulos $B$ y $C$ tocan estas líneas en $A_2,B_2, C_2$ y $A_3,B_3, C_3$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo si y sólo si una de las ternas de puntos $(A',B_3, C'),$ $ (A_3,B', C_3), (A',B', C_2), (A_2,B_2, C'), (A_2,B_1, C_2), (A_3,B_3, C_1),$ $ (A_1,B_2, C_1), (A_1,B_1, C_3)$ es colineal.

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ un hexágono inscrito en un círculo con centro $O$. Considere el arco circular con extremos $A_1,A_6$ que no contiene a $A_2$. Para cualquier punto $M$ de ese arco, denote por $h_i$ la distancia desde $M$ a la línea $A_iA_{i+1} \ (1 \leq i \leq 5)$. Construya $M$ tal que la suma $h_1 + \cdots + h_5$ sea máxima.

Dado un entero $n \geq 2$ , determina todos los números de $n$ dígitos $M_0 = \overline{a_1a_2 \cdots a_n} \ (a_i \neq 0, i = 1, 2, . . ., n)$ divisibles por los números $M_1 = \overline{a_2a_3 \cdots a_na_1}$ , $M_2 = \overline{a_3a_4 \cdots a_na_1 a_2}$ , $\cdots$ , $M_{n-1} = \overline{a_na_1a_2 . . .a_{n-1}}.$

Encuentra el entero más pequeño $n$ con la siguiente propiedad: Para cualquier conjunto $V$ de $8$ puntos en el plano, no tres sobre una línea, y para cualquier conjunto $E$ de n segmentos de línea con puntos finales en $V$ , se puede encontrar una línea recta que interseca al menos $4$ segmentos en $E$ en puntos interiores.