Sea $(a_i)_{i\in \mathbb N}$ una secuencia estrictamente creciente de números reales positivos tal que $\lim_{i \to \infty} a_i = +\infty$ y $a_{i+1}/a_i \leq 10$ para cada $i$. Demuestra que para cada entero positivo $k$ hay infinitos pares $(i, j)$ con $10^k \leq a_i/a_j \leq 10^{k+1}$.

Un juego para una persona con dos resultados posibles se juega de la siguiente manera: Después de cada jugada, el jugador recibe $a$ o $b$ puntos, donde $a$ y $b$ son enteros con $0 < b < a < 1986$. El juego se juega tantas veces como se desee y la puntuación total del juego se define como la suma de los puntos recibidos después de jugadas sucesivas. Se observa que todo entero $x \geq 1986$ se puede obtener como la puntuación total, mientras que $1985$ y $663$ no se pueden obtener. Determina $a$ y $b$.

Dos líneas rectas perpendiculares entre sí se encuentran con cada lado de un triángulo en puntos simétricos con respecto al punto medio de ese lado. Demuestra que estas dos líneas se intersecan en un punto en el círculo de los nueve puntos.

Sea $ABCD$ un tetraedro que tiene cada suma de lados opuestos igual a $1$ . Demuestra que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, la igualdad se cumple solo si $ABCD$ es regular.

Sean $AX,BY,CZ$ tres cevianas concurrentes en un punto interior $D$ de un triángulo $ABC$ . Demuestra que si dos de los cuadriláteros $DY AZ,DZBX,DXCY$ son circunscribibles, también lo es el tercero.

Considera la ecuación $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0$ con coeficientes reales $a, b$ . Determina el número de raíces reales distintas y sus multiplicidades para varios valores de $a$ y $b$ . Muestra tu resultado gráficamente en el plano $(a, b)$ .

Sea $f(x) = x^n$ donde $n$ es un entero positivo fijo y $x =1, 2, \cdots .$ ¿Es la expansión decimal $a = 0.f (1)f(2)f(3) . . .$ racional para cualquier valor de $n$ ? La expansión decimal de a se define como sigue: Si $f(x) = d_1(x)d_2(x) \cdots d_{r(x)}(x)$ es la expansión decimal de $f(x)$ , entonces $a = 0.1d_1(2)d_2(2) \cdots d_{r(2)}(2)d_1(3) . . . d_{r(3)}(3)d_1(4) \cdots .$

Cien puntos rojos y cien puntos azules son elegidos en el plano, no tres de ellos están en una línea. Demuestra que estos puntos pueden ser conectados por pares, rojos con azules, por segmentos de línea disjuntos.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $C$. Demuestre que existe un punto $M$ en $C$ tal que $MA_1 -MA_2 +MA_3 -MA_4 = 0.$

Sea $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ la sucesión de enteros definida recursivamente por $a_1 = a_2 = 1, a_{n+2} = 7a_{n+1} - a_n - 2$ para $n \geq 1$. Demuestre que $a_n$ es un cuadrado perfecto para todo $n.$