Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en un círculo de radio 1 con centro $O;$ todos los ángulos de $ABC$ son mayores que $45^\circ.$ $B_{1}$ es el pie de la perpendicular de $B$ a $CO,$ $B_{2}$ es el pie de la perpendicular de $B_{1}$ a $AC.$ Similarmente, $C_{1}$ es el pie de la perpendicular de $C$ a $BO,$ $C_{2}$ es el pie de la perpendicular de $C_{1}$ a $AB.$ Las líneas $B_{1}B_{2}$ y $C_{1}C_{2}$ se intersecan en $A_{3}.$ Los puntos $B_{3}$ y $C_{3}$ se definen de la misma manera. Encuentra el circunradio del triángulo $A_{3}B_{3}C_{3}.$

En el plano se dan 100 líneas tales que no hay 2 paralelas y no hay 3 que se crucen en un punto. Los puntos de intersección están marcados. Luego se borran todas las líneas y k de los puntos marcados. Dados los puntos de intersección restantes, ¿para qué k máximo se pueden reconstruir las líneas?

¿Existe una secuencia $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ de números reales y un polinomio no constante $P(x)$ tal que $a_{m}+a_{n}=P(mn)$ para cada $m$ y $n$ enteros positivos?

Sea $ABCD$ un tetraedro y $O$ su incentro, y sea la línea $OD$ perpendicular a $AD$. Encuentre el ángulo entre los planos $DOB$ y $DOC.$

Sean $AA_1,BB_1, CC_1$ las alturas en un triángulo acutángulo $ABC$ , $K$ y $M$ son puntos en los segmentos de línea $A_1C_1$ y $B_1C_1$ respectivamente. Demuestre que si los ángulos $MAK$ y $CAA_1$ son iguales, entonces el ángulo $C_1KM$ es bisecado por $AK.$

Si $T$ y $T_1$ son dos triángulos con ángulos $x, y, z$ y $x_1, y_1, z_1$ , respectivamente, demuestre la desigualdad \[\frac{\cos x_1}{\sin x}+\frac{\cos y_1}{\sin y}+\frac{\cos z_1}{\sin z} \leq \cot x+\cot y+\cot z.\]

Encuentre todos los enteros $x,y,z$ tales que \[x^3+y^3+z^3=x+y+z=8\]

Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de una cuerda circular tal que $B$ está al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros de largo. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, se giró y nadó hacia el oeste, llegando a la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son ambos enteros positivos, determine $y$.

El incentro de un triángulo es el punto medio del segmento de línea de longitud $4$ que une el baricentro y el ortocentro del triángulo. Determina el área máxima posible del triángulo.

De una colección de $n$ personas, se seleccionan $q$ distintos equipos de dos miembros y se clasifican $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el entero más pequeño mayor o igual que $2q/n$. Demuestra que hay $m$ equipos distintos que pueden ser listados de tal manera que: (i) cada par de equipos consecutivos en la lista tienen un miembro en común y (ii) la cadena de equipos en la lista está en orden de rango. Formulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots, q$, muestra que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$, cada dos aristas consecutivas teniendo un vértice común, dispuestas monótonamente con respecto a la numeración.