Sea $n$ un entero positivo. Encontrar todas las $n$ - filas $( a_1 , a_2 ,..., a_n )$ de enteros positivos diferentes tales que $$ \frac{(a_1 + d ) (a_2 + d ) \cdot\cdot\cdot ( a_n + d )}{a_1a_2\cdot \cdot \cdot a_n }$$ es entero para cada entero $d\ge 0$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC> AB$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $D$ el punto medio del arco más pequeño $BC$ de esta circunferencia. Sean $E$ y $F$ puntos de los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $AE = AF$ . Sea $P \neq A$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita a $AEF$ con $\Gamma$ . Sean $G$ y $H$ las intersecciones de las líneas $PE$ y $PF$ con $\Gamma$ distintas de $P$ , respectivamente. Sean $J$ y $K$ los puntos de intersección de las líneas $DG$ y $DH$ con las líneas $AB$ y $AC$ respectivamente. Demostrar que la línea $JK$ pasa por el punto medio de $BC$

Determinar todas las triples $\{a, b, c \}$ de enteros positivos coprimos (no necesariamente primos entre sí) tales que $a + b + c$ divide simultáneamente a los tres números $a^{12} + b^{12}+ c^{12}$ , $ a^{23} + b^{23} + c^{23} $ y $ a^{11004} + b^{11004} + c^{11004}$

Sea $P$ un punto fuera de una circunferencia $\Gamma$, y sea $PA$ una de las tangentes desde $P$ a $\Gamma$. La línea $l$ pasa por $P$ e intersecta a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $P$ y $C$. Sea $D$ el simétrico de $B$ con respecto a $P$. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los círculos circunscritos a los triángulos $DAC$ y $PAB$ respectivamente. $\omega_1$ y $\omega _2$ se intersectan en $E \neq A$. La línea $EB$ corta de nuevo a $\omega _1 $ en $F$. Demostrar que $CF = AB$.

Determinar si existen $2018$ enteros positivos diferentes tales que la suma de sus cuadrados es un cubo perfecto y la suma de sus cubos es un cuadrado perfecto.

Se sabe que $m$ y $n$ son enteros positivos, $m > n^{n-1}$ , y todos los números $m+1$ , $m+2$ , \dots, $m+n$ son compuestos. Demuestra que existen tales primos diferentes $p_1$ , $p_2$ , \dots, $p_n$ que $p_k$ divide a $m+k$ para $k = 1$ , 2, \dots, $n$ .

Ceros y unos están dispuestos en todos los cuadrados de la tabla de $n\times n$. Todos los cuadrados de la columna izquierda están llenos de unos, y la suma de los números en cada figura de la forma [asy]size(50); draw((2,1)--(0,1)--(0,2)--(2,2)--(2,0)--(1,0)--(1,2));[/asy] (que consta de un cuadrado y sus vecinos de la izquierda y de abajo) es par. Demuestra que no hay dos filas de la tabla que sean idénticas.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q.$ La línea $PQ$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $X$ y $Y.$ Encuentra $\angle XBY$ si $\angle ABC = 90^\circ.$

50 caballeros del Rey Arturo se sentaron en la Mesa Redonda. Una copa de vino blanco o tinto estaba frente a cada uno de ellos. Se sabe que al menos una copa de vino tinto y al menos una copa de vino blanco estaban sobre la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con una copa de vino tinto frente a él tomó una copa de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con una copa de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él le dio esta copa al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestra que a algún caballero se le acabó el vino.

Hay muchas sociedades de oposición en la ciudad de N. Cada sociedad consta de $10$ miembros. Se sabe que para cada $2004$ sociedades hay una persona que pertenece a al menos $11$ de ellas. Demuestra que el gobierno puede arrestar a $2003$ personas para que al menos un miembro de cada sociedad sea arrestado.