Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle{BAD} = 90^{\circ}$ y sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sea $M$ el punto medio del lado $CD$, y $E$ la intersección de $BM$ y $AC$. Sea $F$ un punto en el lado $AD$ tal que $BM$ y $EF$ son perpendiculares. Si $CE = AF\sqrt{2}$ y $FD = CE\sqrt{2}$, demostrar que $ABCD$ es un cuadrado.

Dado un triángulo acutángulo $PA_1B_1$ inscrito en el círculo $\Gamma$ con radio $1$. Para todos los enteros $n \ge 1$ se definen:\n$C_n$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $A_nB_n$\n$O_n$ es el centro de $\odot (PA_nB_n)$\n$A_{n+1}$ es el pie de la perpendicular desde $C_n$ a $PA_n$\n$B_{n+1} \equiv PB_n \cap O_nA_{n+1}$\nSi $PC_1 =\sqrt{2}$, hallar la longitud de $PO_{2015}$

Se dibujan $3n$ líneas en el plano ( $n > 1$ ), de tal manera que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas concurrentes. Demostrar que, si $2n$ de las líneas son de color rojo y las otras $n$ líneas azules, hay al menos dos regiones del plano tales que todos sus bordes son rojos. Nota: para cada región, todos sus bordes están contenidos en el conjunto original de líneas, y ninguna línea pasa por la región.

Demostrar que, para cualquier entero $n$, el número $n^3 - 9n + 27$ no es divisible por $81$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, sea $M$ el punto medio de su lado $AC$, y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$. El círculo que pasa por los puntos $B$, $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$. Encuentra el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$.

Sea $ABC$ un triángulo con $m (\angle C) = 90^\circ$ y los puntos $D \in [AC], E\in [BC]$. Dentro del triángulo construimos los semicírculos $C_1, C_2, C_3, C_4$ de diámetros $[AC], [BC], [CD], [CE]$ y sea $\{C, K\} = C_1 \cap C_2, \{C, M\} =C_3 \cap C_4, \{C, L\} = C_2 \cap C_3, \{C, N\} =C_1 \cap C_4$. Demuestra que los puntos $K, L, M, N$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $C$. Los círculos $C_1, C_2, C_3$ son tangentes internamente al círculo $C$ en $A_1, B_1, C_1$ y tangentes a los lados $[BC], [CA], [AB]$ en los puntos $A_2, B_2, C_2$ respectivamente, de modo que $A, A_1$ están en un lado de $BC$ y así sucesivamente. Las líneas $A_1A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ intersecan el círculo $C$ por segunda vez en los puntos $A', B'$ y $C'$, respectivamente. Si $ M = BB' \cap CC'$, demuestra que $m (\angle MAA') = 90^\circ$.

Sean $E, F$ dos puntos distintos dentro de un paralelogramo $ABCD$. Determina el máximo número posible de triángulos que tienen la misma área con tres vértices de los puntos $A, B, C, D, E, F$.

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. Un círculo $C$ con centro en $A$ interseca a $C_1$ en $M$ y $P$ y a $C_2$ en $N$ y $Q$ de modo que $N$ y $Q$ están ubicados en lados diferentes con respecto a $MP$ y $AB> AM$. Demuestra que $\angle MBQ = \angle NBP$.

Una empresa tiene $n$ empleados. Se sabe que cada uno de los empleados trabaja al menos uno de los $7$ días de la semana, con la excepción de un empleado que no trabaja ninguno de los $7$ días. Además, para cualesquiera dos de estos $n$ empleados, hay al menos $3$ días de la semana en los que uno de los dos trabaja ese día y el otro no (no es necesariamente el mismo empleado quien trabaja esos días). Determinar el valor más alto posible de $n$ .