Hay una fila con $2024$ celdas. Ana y Beto se turnan para jugar, comenzando Ana. En cada turno, el jugador selecciona una celda vacía y coloca un dígito en ese espacio. Una vez que las $2024$ celdas están llenas, se considera el número obtenido al leer de izquierda a derecha, ignorando cualquier cero inicial. Beto gana si el número resultante es múltiplo de $99$ , de lo contrario, Ana gana. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala.

Sea $n$ un entero positivo con $k$ dígitos. Un número $m$ se llama un $alero$ de $n$ si existen dígitos distintos $a_1$ , $a_2$ , $\dotsb$ , $a_k$ , todos diferentes entre sí y de cero, tales que $m$ se obtiene sumando el dígito $a_i$ al $i$ - ésimo dígito de $n$ , y ninguna suma excede de 9. Por ejemplo, si $n$ $=$ $2024$ y elegimos $a_1$ $=$ $2$ , $a_2$ $=$ $1$ , $a_3$ $=$ $5$ , $a_4$ $=$ $3$ , entonces $m$ $=$ $4177$ es un alero de $n$ , pero si elegimos los dígitos $a_1$ $=$ $2$ , $a_2$ $=$ $1$ , $a_3$ $=$ $5$ , $a_4$ $=$ $6$ , entonces no obtenemos un alero de $n$ , porque $4$ $+$ $6$ excede de $9$ . Encuentre el $n$ más pequeño que es múltiplo de $2024$ que tiene un alero que también es múltiplo de $2024$ .

Sea $n$ un entero positivo, $n > 1$ . El número $n$ es maravilloso si el número es divisible por la suma de sus factores primos. Por ejemplo; $90$ es maravilloso, porque $90 = 2 \times 3^2\times 5$ y $2 + 3 + 5 = 10, 10$ divide a $90$ . Demuestra que existe un número 'maravilloso' con al menos $10^{2002}$ números primos distintos.

Considera el conjunto $A = \{1, 2, ..., n\}$ . Para cada entero $k$ , sea $r_k$ la mayor cantidad de elementos diferentes de $A$ que podemos elegir de modo que la diferencia entre dos números elegidos sea siempre diferente de $k$ . Determina el valor más alto posible de $r_k$ , donde $1 \le k \le \frac{n}{2}$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$ , sea $M$ el punto medio de $AB$ . Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico, si y sólo si, las rectas $PM$ y $DC$ son perpendiculares.

Arnaldo y Bernardo juegan a la Batalla Naval Súper. Cada uno tiene un tablero de $n \times n$ . Arnaldo coloca barcos en su tablero (al menos uno, pero no se sabe cuántos). Cada barco ocupa las $n$ casas de una línea o una columna y los barcos no pueden superponerse ni tener un lado en común. Bernardo marca $m$ casas (que representan disparos) en su tablero. Después de que Bernardo marca las casas, Arnaldo dice cuáles de ellas corresponden a posiciones ocupadas por barcos. Bernardo gana, y luego descubre las posiciones de todos los barcos de Arnaldo. Determina el valor más bajo de $m$ para el que Bernardo puede garantizar su victoria.

Dado un triángulo $ABC$ , con $\angle A$ recto, conocemos: el punto $T$ de tangencia de la circunferencia inscrita en $ABC$ con la hipotenusa $BC$ , el punto $D$ de intersección de la bisectriz de $\angle B$ con el lado AC y el punto E de intersección de la bisectriz de $\angle C$ con el lado $AB$ . Describe una construcción con regla y compás para los puntos $A$ , $B$ , y $C$ . Justifica.

Los estudiantes de la clase de Pedro practican la suma y la multiplicación de números enteros. El profesor escribe los números del $1$ al $9$ en nueve tarjetas, una para cada número, y los coloca en una urna. Pedro saca tres tarjetas, y debe calcular la suma y el producto de los tres números correspondientes. Ana y Julián hacen lo mismo, vaciando la urna. Pedro informa al profesor que ha elegido tres números consecutivos cuyo producto es $5$ veces la suma. Ana informa que no tiene ningún número primo, pero sí dos consecutivos y que el producto de estos tres números es $4$ veces la suma de ellos. ¿Qué números sacó Julián?

Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots , 2046, 2047, 2048\}$. Se dice que dos subconjuntos $A$ y $B$ de $S$ son amigos si se cumplen las siguientes condiciones:\nNo comparten ningún elemento.\nAmbos tienen el mismo número de elementos.\nEl producto de todos los elementos de $A$ es igual al producto de todos los elementos de $B$.\nDemostrar que existen dos subconjuntos de $S$ que son amigos tales que cada uno de ellos contiene al menos $738$ elementos.

Determinar si existe una secuencia infinita de enteros positivos no necesariamente distintos $a_1, a_2, a_3,\ldots$ tal que para cualquier entero positivo $m$ y $n$ donde $1 \leq m < n$, el número $a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_{n}$ no es divisible por $a_1 + a_2 + \ldots + a_m$.