Sea $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión definida recursivamente tal que $x_1=\sqrt{2}$ y $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}\text{ para }n\in \mathbb{N}.$$ Pruebe que la siguiente desigualdad se cumple: $$\frac{x_1^2}{2x_1x_2-1}+\frac{x_2^2}{2x_2x_3-1}+\dotsc +\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}x_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}x_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$

Cada entero positivo está marcado con un número del conjunto $\{ 0,1,2\}$ , de acuerdo con la siguiente regla: $$\text{si un entero positivo }k\text{ está marcado con }j,\text{ entonces el entero }k+j\text{ está marcado con }0.$$ Sea $S$ la suma de las marcas de los primeros $2019$ enteros positivos. Determine el máximo valor posible de $S$ .

La secuencia de polinomios $(a_n)$ está definida por $a_0=0$ , $a_1=x+2$ y $a_n=a_{n-1}+3a_{n-1}a_{n-2} +a_{n-2}$ para $n>1$. (a) Muestre para todos los enteros positivos $k,m$ : si $k$ divide a $m$ entonces $a_k$ divide a $a_m$. (b) Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que la suma de las raíces del polinomio $a_n$ es un entero.

Sea $n$ un entero positivo. Calcule la suma $\sum_{k=1}^n\ \ {\sum_{1\le i_1 < \ldots < i_k\le n}^{}{\frac {2^k}{(i_1 + 1)(i_2 + 1)\ldots (i_k + 1)}}}$

Determine si existen dos secuencias de puntos infinitos $A_1,A_2,\ldots$ y $B_1,B_2,\ldots$ en el plano, tales que para todos $i,j,k$ con $ 1\le i < j < k$, (i) $B_k$ está en la línea que pasa por $A_i$ y $A_j$ si y sólo si $ k=i+j$. (ii) $A_k$ está en la línea que pasa por $B_i$ y $B_j$ si y sólo si $ k=i+j$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que todos sus vértices están en un círculo. Demuestre que $AD$, $BE$ y $CF$ son concurrentes si y sólo si $\frac {AB}{BC}\cdot\frac {CD}{DE}\cdot\frac {EF}{FA}= 1$.

Sean $n$ $\geq$ $2$ y $k$ $\geq$ $2$ enteros positivos. Un gato y un ratón están jugando Wim , que es un juego de eliminación de piedras. El juego comienza con $n$ piedras y se turnan para quitar piedras, comenzando el gato. En cada turno se les permite quitar $1$ , $2$ , $\dotsb$ , o $k$ piedras, y el jugador que no puede quitar ninguna piedra en su turno pierde. Un mapache encuentra a Wim muy aburrido y crea Wim 2 , que es Wim pero con la siguiente regla adicional: No puedes quitar el mismo número de piedras que tu oponente quitó en el turno anterior . Encuentre todos los valores de $k$ tales que para cada $n$ , el gato tiene una estrategia ganadora en Wim si y sólo si tiene una estrategia ganadora en Wim 2.

Sean \(x\) e \(y\) números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\n\begin{cases}\n\sqrt{x}\left(2 + \dfrac{5}{x+y}\right) = 3 \\\\\n\sqrt{y}\left(2 - \dfrac{5}{x+y}\right) = 2\n\end{cases}\n\] Encuentre el valor máximo de \(x + y\) .

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\Gamma$ . La línea paralela a $BC$ que pasa por $I$ interseca a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las líneas $PD$ y $QD$ intersecan a $BC$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $IEF$ y $ABC$ son similares.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ . Los puntos $D$ , $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$ , $B$ y $C$ , respectivamente. La línea $AD$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $P$ . El circuncírculo de $EFP$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $Q$ . Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$ . Demuestre que $K$ , $D$ y $Q$ son colineales.