Tres personas $A,B,C$ , están jugando el siguiente juego: Un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$ es elegido aleatoriamente, con una probabilidad igual de cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual a $1986$. El ganador es $A,B$ o $C$ , respectivamente, si la suma de los números elegidos deja un residuo de $0, 1$ , o $2$ cuando se divide por $3$. ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.)

Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ son colocados en los campos de un tablero de ajedrez de $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que dos campos cualesquiera que tienen un borde común o un vértice se les asignan números que difieren en a lo más $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones?

Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $ABC$. Las líneas $AM, BN, CP$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A',B', C'$ , respectivamente. Demuestre que si $A'B'C'$ es un triángulo equilátero, entonces también lo es $ABC$.

Hallar el valor máximo que puede tener la cantidad $2m+7n$ tal que existan enteros positivos distintos $x_i \ (1 \leq i \leq m), y_j \ (1 \leq j \leq n)$ tales que los $x_i$ 's sean pares, los $y_j$ 's sean impares, y $\sum_{i=1}^{m} x_i +\sum_{j=1}^{n} y_j=1986.$

Sea $S$ un conjunto de $k$ elementos. (a) Hallar el número de aplicaciones $f : S \to S$ tal que \[\text{(i) } f(x) \neq x \text{ para } x \in S, \quad \text{(ii) } f(f(x)) = x \text{ para }x \in S.\] \n(b) Lo mismo sin la condición $\text{(i)}$.

A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x,y,z$ respectivamente, e $y<0$, entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ se reemplazan por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Dicha operación se realiza repetidamente mientras que al menos uno de los cinco números sea negativo. Determinar si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.

Demostrar que el conjunto $\{1, 2, . . . , 1986\}$ se puede dividir en $27$ conjuntos disjuntos de modo que ninguno de estos conjuntos contenga una terna aritmética (es decir, tres números distintos en progresión aritmética).

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o blanco de modo que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$?

Establece los valores máximo y mínimo que puede tener la suma $|a| + |b| + |c|$ si $a, b, c$ son números reales tales que el valor máximo de $|ax^2 + bx + c|$ es $1$ para $-1 \leq x \leq 1.$

Para cada entero no negativo $n$ , $F_n(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $n$ . Demuestra que si la identidad \[F_n(2x)=\sum_{r=0}^{n} (-1)^{n-r} \binom nr 2^r F_r(x)\] se cumple para cada n, entonces \[F_n(tx)=\sum_{r=0}^{n} \binom nr t^r (1-t)^{n-r} F_r(x)\]