Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ - gono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$ , que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$ , se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan cada uno todo el límite del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encuentra el lugar geométrico de $X$.

Encuentra, con prueba, todas las soluciones de la ecuación $\frac 1x +\frac 2y- \frac 3z = 1$ en enteros positivos $x, y, z$.

Sean $P$ y $Q$ puntos distintos en el plano de un triángulo $ABC$ tales que $AP : AQ = BP : BQ = CP : CQ$. Demuestra que la línea $PQ$ pasa por el circuncentro del triángulo.

Demuestre que un poliedro convexo cuyas caras son todos triángulos equiláteros tiene como máximo $30$ aristas.

Definimos una operación binaria $\star$ en el plano de la siguiente manera: Dados dos puntos $A$ y $B$ en el plano, $C = A \star B$ es el tercer vértice del triángulo equilátero ABC orientado positivamente. ¿Cuál es la posición relativa de tres puntos $I, M, O$ en el plano si $I \star (M \star O) = (O \star I)\star M$ se cumple?

Una partícula se mueve desde $(0, 0)$ hasta $(n, n)$ dirigida por una moneda justa. Por cada cara, se mueve un paso hacia el este y por cada cruz, se mueve un paso hacia el norte. En $(n, y), y < n$, se queda ahí si sale cara y en $(x, n), x < n$, se queda ahí si sale cruz. Sea $k$ un entero positivo fijo. Encuentre la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$

En una urna hay n bolas numeradas $1, 2, \cdots, n$. Se sacan al azar una por una sin reemplazo y se registran los números. ¿Cuál es la probabilidad de que la permutación aleatoria resultante tenga solo un máximo local? Un término en una secuencia es un máximo local si es mayor que todos sus vecinos.

Sea $d$ cualquier entero positivo no igual a $2, 5$ o $13$. Demuestre que uno puede encontrar distintos $a,b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tal que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Sean los números reales $x_1, x_2, \cdots , x_n$ que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ y sea $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$. Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{donde } i = 1, 2, . . ., n.\]\nPruebe que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$

Se dan dos familias de líneas paralelas en el plano, que constan de $15$ y $11$ líneas, respectivamente. En cada familia, dos líneas vecinas cualesquiera están a una distancia unitaria una de otra; las líneas de la primera familia son perpendiculares a las líneas de la segunda familia. Sea $V$ el conjunto de $165$ puntos de intersección de las líneas en consideración. Demuestre que existen no menos de $1986$ cuadrados distintos con vértices en el conjunto $V$.