Sean $I$ y $J$ los centros del incírculo y el excírculo en el ángulo $BAC$ del triángulo $ABC$. Para cualquier punto $M$ en el plano del triángulo, no en la línea $BC$, denote por $I_M$ y $J_M$ los centros del incírculo y el excírculo (tocando $BC$) del triángulo $BCM$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ para los cuales $II_MJJ_M$ es un rectángulo.

Sea $(a_n)_{n \geq 0}$ la secuencia de enteros definida recursivamente por $a_0 = 0, a_1 = 1, a_{n+2} = 4a_{n+1} + a_n$ para $n \geq 0.$ Encuentre los divisores comunes de $a_{1986}$ y $a_{6891}.$

Sea $AB$ un segmento de longitud unitaria y sean $C, D$ puntos variables de este segmento. Encuentre el valor máximo del producto de las longitudes de los seis segmentos distintos con puntos finales en el conjunto $\{A,B,C,D\}.$

Para cualquier ángulo α con $0 < \alpha < 180^{\circ}$ , llamamos a un conjunto plano convexo cerrado un $\alpha$ - conjunto si está acotado por dos arcos circulares (o un arco y un segmento de línea) cuyo ángulo de intersección es $\alpha$ . Dado un triángulo (cerrado) $T$ , encontrar el mayor $\alpha$ tal que cualesquiera dos puntos en $T$ están contenidos en un $\alpha$ - conjunto $S \subset T .$

Sea $f : [0, 1] \to [0, 1]$ tal que $f(0) = 0, f(1) = 1$ y \[f(x + y) - f(x) = f(x) - f(x - y)\] para todo $x, y \geq 0$ con $x - y, x + y \in [0, 1].$ Demostrar que $f(x) = x$ para todo $x \in [0, 1].$

Dado que la ecuación $xyz = p^n(x + y + z)$ donde $p \geq 3$ es un primo y $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que la ecuación tiene al menos $3n + 3$ soluciones diferentes $(x,y,z)$ con números naturales $x,y,z$ y $x < y < z$ . Demostrar lo mismo para $p > 3$ siendo un entero impar.

Llamamos a un tetraedro de caras rectas si cada una de sus caras es un triángulo rectángulo. (a) Demostrar que cada paralelepípedo ortogonal puede ser particionado en seis tetraedros de caras rectas. (b) Demostrar que un tetraedro con vértices $A_1,A_2,A_3,A_4$ es de caras rectas si y sólo si existen cuatro números reales distintos $c_1, c_2, c_3$ , y $c_4$ tales que las aristas $A_jA_k$ tienen longitudes $A_jA_k=\sqrt{|c_j-c_k|}$ para $1\leq j < k \leq 4.$

Dado un entero positivo $k$, encontrar el menor entero $n_k$ para el cual existen cinco conjuntos $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ con las siguientes propiedades: \[|S_j|=k \text{ para } j=1, \cdots , 5 , \quad |\bigcup_{j=1}^{5} S_j | = n_k ;\] \[|S_i \cap S_{i+1}| = 0 = |S_5 \cap S_1|, \quad \text{para } i=1,\cdots ,4 \]

Sea $\mathbb N = B_1\cup\cdots \cup B_q$ una partición del conjunto $\mathbb N$ de todos los enteros positivos y sea un entero $l \in \mathbb N$ dado. Demostrar que existe un conjunto $X \subset \mathbb N$ de cardinalidad $l$, un conjunto infinito $T \subset \mathbb N$, y un entero $k$ con $1 \leq k \leq q$ tal que para cualquier $t \in T$ y cualquier conjunto finito $Y \subset X$, la suma $t+ \sum_{y \in Y} y$ pertenece a $B_k$.

Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$. Definir $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\ge4$. Construir un conjunto de puntos $P_1,P_2,P_3,\ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro en $A_{k+1}$ a través de un ángulo de $120^o$ en sentido horario para $k=0,1,2,\ldots$. Demostrar que si $P_{1986}=P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.