Sea $N = \{1, 2, \ldots, n\}$, $n \geq 3$. A cada par $i \neq j$ de elementos de $N$ se le asigna un número $f_{ij} \in \{0, 1\}$ tal que $f_{ij} + f_{ji} = 1$. Sea $r(i)=\sum_{i \neq j} f_{ij}$, y escriba $M = \max_{i\in N} r(i)$, $m = \min_{i\in N} r(i)$. Demostrar que para cualquier $w \in N$ con $r(w) = m$ existen $u, v \in N$ tales que $r(u) = M$ y $f_{uv}f_{vw} = 1$.

Sea $O$ un punto interior de un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$. Sean $S_1, S_2, S_3, S_4$ esferas con centros $A_1,A_2,A_3,A_4$, respectivamente, y sean $U, V$ esferas con centros en $O$. Suponga que para $i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j$, las esferas $S_i$ y $S_j$ son tangentes entre sí en un punto $B_{ij}$ que se encuentra en $A_iA_j$. Suponga también que $U$ es tangente a todas las aristas $A_iA_j$ y $V$ es tangente a las esferas $S_1, S_2, S_3, S_4$. Demostrar que $A_1A_2A_3A_4$ es un tetraedro regular.

Demostrar que la suma de los ángulos de las caras en cada vértice de un tetraedro es un ángulo recto si y sólo si las caras son triángulos congruentes.

Un conjunto de $n$ dados estándar se agitan y se colocan aleatoriamente en una línea recta. Si $n < 2r$ y $r < s$, entonces la probabilidad de que haya una cadena de al menos $r$, pero no más de $s$, $1$'s consecutivos se puede escribir como $\frac{P}{6^{s+2}}$. Encuentra una expresión explícita para $P$.

En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 100^{\circ}, AB = AC$. Se elige un punto $D$ en el lado $AC$ tal que $\angle ABD = \angle CBD$. Demuestra que $AD + DB = BC$.

Se da un tetraedro $ABCD$ tal que $AD = BC = a; AC = BD = b; AB\cdot CD = c^2$. Sea $f(P) = AP + BP + CP + DP$, donde $P$ es un punto arbitrario en el espacio. Calcula el valor mínimo de $f(P)$.

Sea $f(n)$ el menor número de puntos distintos en el plano tal que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una línea recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Encuentra una expresión explícita para $f(n)$. Versión simplificada. Demuestra que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right]$. Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$.

En una urna hay una bola marcada con $1$, dos bolas marcadas con $2$, y así sucesivamente, hasta $n$ bolas marcadas con $n$. Se extraen dos bolas al azar sin reemplazo. Encuentra la probabilidad de que las dos bolas tengan asignado el mismo número.

Sean $ABC$ y $DEF$ triángulos acutángulos. Escribe $d = EF, e = FD, f = DE$. Demuestra que existe un punto $P$ en el interior de $ABC$ para el cual el valor de la expresión $X=d \cdot AP +e \cdot BP +f \cdot CP$ alcanza un mínimo.

Encuentra los últimos ocho dígitos del desarrollo binario de $27^{1986}$.