Encuentra todos los enteros positivos que tienen exactamente 16 divisores positivos $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{16} =n$ tales que el divisor $d_k$ , donde $k = d_5$ , es igual a $(d_2 + d_4) d_6$ .

Dos círculos con centros $O_{1}$ y $O_{2}$ se encuentran en dos puntos $A$ y $B$ tales que los centros de los círculos están en lados opuestos de la línea $AB$ . Las líneas $BO_{1}$ y $BO_{2}$ se encuentran con sus respectivos círculos nuevamente en $B_{1}$ y $B_{2}$ . Sea $M$ el punto medio de $B_{1}B_{2}$ . Sean $M_{1}$ , $M_{2}$ puntos en los círculos de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ respectivamente, tales que $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ , y $B_{1}$ se encuentra en el arco menor $AM_{1}$ mientras que $B$ se encuentra en el arco menor $AM_{2}$ . Demuestra que $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ .

El triángulo $ABC$ tiene $CA = CB$ . $P$ es un punto en la circunferencia circunscrita entre $A$ y $B$ (y en el lado opuesto de la línea $AB$ a $C$ ) . $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $PB$ . Demuestra que $PA + PB = 2 \cdot PD$ .

Sea $k \in \mathbb{Z}^+$ y sea $n=2^k+1.$ Demuestre que $n$ es un número primo si y solo si se cumple lo siguiente: existe una permutación $a_{1},\ldots,a_{n-1}$ de los números $1,2, \ldots, n-1$ y una secuencia de enteros $g_{1},\ldots,g_{n-1},$ tal que $n$ divide a $g^{a_i}_i - a_{i+1}$ para cada $i \in \{1,2,\ldots,n-1\},$ donde establecemos $a_n = a_1.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $\ell$ una línea tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las líneas obtenidas al reflejar $\ell$ en las líneas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que el circuncírculo del triángulo determinado por las líneas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo todos cuyos lados son tangentes a un círculo $\omega$ con centro $O$. Suponga que el circuncírculo del triángulo $ACE$ es concéntrico con $\omega$. Sea $J$ el pie de la perpendicular desde $B$ a $CD$. Suponga que la perpendicular desde $B$ a $DF$ interseca la línea $EO$ en un punto $K$. Sea $L$ el pie de la perpendicular desde $K$ a $DE$. Demuestra que $DJ=DL$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ y sea $D$ el punto medio de $AC$. La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ interseca el círculo que pasa por $D,B$ y $C$ en el punto $E$ dentro del triángulo $ABC$. La línea $BD$ interseca el círculo que pasa por $A,E$ y $B$ en dos puntos $B$ y $F$. Las líneas $AF$ y $BE$ se encuentran en un punto $I$, y las líneas $CI$ y $BD$ se encuentran en un punto $K$. Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $KAB$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Sean $D$ y $E$ los segundos puntos de intersección de $\omega$ con $AI$ y $BI$, respectivamente. La cuerda $DE$ se encuentra con $AC$ en un punto $F$, y $BC$ en un punto $G$. Sea $P$ el punto de intersección de la línea que pasa por $F$ paralela a $AD$ y la línea que pasa por $G$ paralela a $BE$. Suponga que las tangentes a $\omega$ en $A$ y $B$ se encuentran en un punto $K$. Demuestra que las tres líneas $AE,BD$ y $KP$ son paralelas o concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$. Sea $B_0$ el punto medio de $AC$ y sea $C_0$ el punto medio de $AB$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B_0$ y $C_0$ que es tangente al círculo $\Omega$ en un punto $X\not= A$. Demuestra que los puntos $D,G$ y $X$ son colineales.

Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función con valores reales definida en el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ e $y$. Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$.