Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito de al menos dos puntos en el plano. Suponga que no hay tres puntos de $\mathcal S$ que sean colineales. Un molinete es un proceso que comienza con una línea $\ell$ que pasa por un solo punto $P \in \mathcal S$. La línea gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del pivote $P$ hasta la primera vez que la línea se encuentra con algún otro punto que pertenece a $\mathcal S$. Este punto, $Q$, toma el relevo como el nuevo pivote, y la línea ahora gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de $Q$, hasta que se encuentra con un punto de $\mathcal S$. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestre que podemos elegir un punto $P$ en $\mathcal S$ y una línea $\ell$ que pase por $P$ de modo que el molinete resultante use cada punto de $\mathcal S$ como pivote infinitas veces.

Dado cualquier conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de cuatro enteros positivos distintos, denotamos la suma $a_1 +a_2 +a_3 +a_4$ por $s_A$. Sea $n_A$ el número de pares $(i, j)$ con $1 \leq i < j \leq 4$ para los cuales $a_i +a_j$ divide a $s_A$. Encuentra todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos que alcanzan el mayor valor posible de $n_A$.

En una mesa cuadrada de $2011 \times 2011$ celdas, colocamos un número finito de servilletas que cubren cada una un cuadrado de $52 \times 52$ celdas. En cada celda escribimos el número de servilletas que la cubren, y registramos el número máximo $k$ de celdas que contienen todas el mismo número distinto de cero. Considerando todas las configuraciones posibles de servilletas, ¿cuál es el valor más grande de $k$?

Sea $n$ un entero positivo, y sea $W = \ldots x_{-1}x_0x_1x_2 \ldots$ una palabra periódica infinita, que consta solo de letras $a$ y/o $b$ . Suponga que el período mínimo $N$ de $W$ es mayor que $2^n$ . Se dice que una palabra finita no vacía $U$ aparece en $W$ si existen índices $k \leq \ell$ tales que $U=x_k x_{k+1} \ldots x_{\ell}$ . Una palabra finita $U$ se llama ubicua si las cuatro palabras $Ua$ , $Ub$ , $aU$ , y $bU$ todas aparecen en $W$ . Demuestre que hay al menos $n$ palabras finitas no vacías ubicuas.

Sea $m$ un entero positivo, y considere un tablero de ajedrez de $m\times m$ que consta de cuadrados unitarios. En el centro de algunos de estos cuadrados unitarios hay una hormiga. En el momento $0$ , cada hormiga comienza a moverse con velocidad $1$ paralela a algún borde del tablero de ajedrez. Cuando dos hormigas que se mueven en direcciones opuestas se encuentran, ambas giran $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj y continúan moviéndose con velocidad $1$ . Cuando más de $2$ hormigas se encuentran, o cuando dos hormigas que se mueven en direcciones perpendiculares se encuentran, las hormigas continúan moviéndose en la misma dirección que antes de encontrarse. Cuando una hormiga llega a uno de los bordes del tablero de ajedrez, se cae y no reaparecerá. Considerando todas las posiciones iniciales posibles, determine el último momento posible en el que la última hormiga se cae del tablero de ajedrez, o demuestre que tal momento no necesariamente existe.

Determine el mayor entero positivo $k$ que satisface la siguiente propiedad: El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $k$ subconjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tal que para todos los enteros $n \geq 15$ y todos los $i \in \{1, 2, \ldots, k\}$ existen dos elementos distintos de $A_i$ cuya suma es $n.$

Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito de al menos dos puntos en el plano. Asuma que no hay tres puntos de $\mathcal S$ que sean colineales. Un molinete es un proceso que comienza con una línea $\ell$ que pasa por un solo punto $P \in \mathcal S$ . La línea gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor del pivote $P$ hasta la primera vez que la línea se encuentra con algún otro punto perteneciente a $\mathcal S$ . Este punto, $Q$ , toma el relevo como el nuevo pivote, y la línea ahora gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de $Q$ , hasta que se encuentre con un punto de $\mathcal S$ . Este proceso continúa indefinidamente. Demuestre que podemos elegir un punto $P$ en $\mathcal S$ y una línea $\ell$ que pase por $P$ de tal manera que el molinete resultante utilice cada punto de $\mathcal S$ como pivote infinitas veces.

Suponga que $1000$ estudiantes están de pie en un círculo. Demuestre que existe un entero $k$ con $100 \leq k \leq 300$ tal que en este círculo existe un grupo contiguo de $2k$ estudiantes, para los cuales la primera mitad contiene el mismo número de niñas que la segunda mitad.

Sea $p$ un número primo impar. Para cada entero $a,$ defina el número $S_a = \sum^{p-1}_{j=1} \frac{a^j}{j}.$ Sean $m,n \in \mathbb{Z},$ tales que $S_3 + S_4 - 3S_2 = \frac{m}{n}.$ Demuestre que $p$ divide a $m.$

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios con coeficientes enteros, tales que ningún polinomio no constante con coeficientes racionales divide tanto a $P(x)$ como a $Q(x)$. Suponga que para cada entero positivo $n$ los enteros $P(n)$ y $Q(n)$ son positivos, y $2^{Q(n)}-1$ divide a $3^{P(n)}-1.$ Demuestre que $Q(x)$ es un polinomio constante.