Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle A=90^{\circ }$ y $\angle B<\angle C$ . La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ se encuentra con la línea $BC$ en $D$ . Sea $E$ la reflexión de $A$ en la línea $BC$ , sea $X$ el pie de la perpendicular de $A$ a $BE$ , y sea $Y$ el punto medio del segmento $AX$ . Sea la línea $BY$ intersectar el círculo $\omega$ de nuevo en $Z$ . Demuestra que la línea $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ADZ$ .

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle ACB=2\angle ABC$ . Sea $D$ el punto en el lado $BC$ tal que $CD=2BD$ . El segmento $AD$ se extiende a $E$ de modo que $AD=DE$ . Demostrar que\n\[ \angle ECB+180^{\circ }=2\angle EBC. \]

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle B+\angle D+\angle F=360^{\circ }$ y\n\[ \frac{AB}{BC} \cdot \frac{CD}{DE} \cdot \frac{EF}{FA} = 1. \]\nDemostrar que\n\[ \frac{BC}{CA} \cdot \frac{AE}{EF} \cdot \frac{FD}{DB} = 1. \]

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro, y $R$ su circunradio. Sea $D$ la reflexión del punto $A$ a través de la línea $BC$ , sea $E$ la reflexión del punto $B$ a través de la línea $CA$ , y sea $F$ la reflexión del punto $C$ a través de la línea $AB$ . Demostrar que los puntos $D$ , $E$ y $F$ son colineales si y sólo si $OH=2R$ .

Las cartas numeradas del 1 al 9 están dispuestas al azar en una fila. En un movimiento, uno puede elegir cualquier bloque de cartas consecutivas cuyos números estén en orden ascendente o descendente, y cambiar el bloque. Por ejemplo, 9 1 $\underline{6\ 5\ 3}$ $2\ 7\ 4\ 8$ se puede cambiar a $9 1$ $\underline{3\ 5\ 6}$ $2\ 7\ 4\ 8$ . Demuestre que en un máximo de 12 movimientos, uno puede organizar las 9 cartas para que sus números estén en orden ascendente o descendente.

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K,L$ y $M$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $ABC$ con $AB,BC$ y $CA$, respectivamente. La línea $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las líneas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestra que $\angle RIS$ es agudo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $E$ y $F$ puntos variables en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $AE:EB=CF:FD$. Sea $P$ el punto en el segmento $EF$ tal que $PE:PF=AB:CD$. Demuestra que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de $E$ y $F$.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las mediatrices de los lados $AB$ y $CD$ se intersecan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tal que para cada entero positivo $m\geq 1$, los números $P^m(1), \ldots, P^m(n)$ dejan exactamente $\lceil n/2^m\rceil$ residuos distintos cuando se dividen por $n$. (Aquí, $P^m$ significa $P$ aplicado $m$ veces.)

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos tal que $a_{n+2m}$ divide a $a_{n}+a_{n+m}$ para todos los enteros positivos $n$ y $m.$ Demuestra que esta secuencia es eventualmente periódica, i.e. existen enteros positivos $N$ y $d$ tales que $a_n=a_{n+d}$ para todo $n>N.$