Determina todos los enteros $n\geqslant 2$ con la siguiente propiedad: cada $n$ enteros distintos por parejas cuya suma no es divisible por $n$ puede ser ordenado en algún orden $a_1,a_2,\ldots, a_n$ tal que $n$ divide $1\cdot a_1+2\cdot a_2+\cdots+n\cdot a_n.$

Demuestra que $n!=a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$ tiene solo un número finito de soluciones en enteros positivos.

Sea $r>1$ un número racional. Alicia juega un juego de solitario en una recta numérica. Inicialmente hay una cuenta roja en $0$ y una cuenta azul en $1$ . En un movimiento, Alicia elige una de las cuentas y un entero $k \in \mathbb{Z}$ . Si la cuenta elegida está en $x$ , y la otra cuenta está en $y$ , entonces la cuenta en $x$ se mueve al punto $x'$ que satisface $x'-y=r^k(x-y)$ . Encuentra todos los $r$ para los cuales Alicia puede mover la cuenta roja a $1$ en a lo sumo $2021$ movimientos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ cada uno en diferentes tarjetas. Luego baraja estas $n+1$ tarjetas, y las divide en dos montones. Demuestra que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Encuentra todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que existe un par $(a,b)$ de enteros positivos, tal que $a^2+b+3$ no es divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ y sea $\Omega_A$ el excírculo $A$. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega$ y $\Omega_A$. Sean $P$ y $Q$ las proyecciones de $A$ sobre las líneas tangentes a $\Omega_A$ en $X$ e $Y$ respectivamente. La línea tangente en $P$ al circuncírculo del triángulo $APX$ interseca la línea tangente en $Q$ al circuncírculo del triángulo $AQY$ en un punto $R$. Demuestra que $\overline{AR} \perp \overline{BC}$.

Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD$. El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD$, el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC$, y el punto $X$ en la línea $AC$ satisface $CX = BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$, respectivamente. Demuestra que las líneas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Encuentra todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales cada $n$ - gon convexo equilátero de lado $1$ contiene un triángulo equilátero de lado $1$ . (Aquí, los polígonos contienen sus límites.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes diferentes por pares. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se encuentran con $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . Del mismo modo, sea $O_D$ el centro del círculo que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestra que $O$ se encuentra en la línea $\overline{O_BO_D}$ .