Sea $n\ge 3$ un entero fijo. Hay $m\ge n+1$ cuentas en un collar circular. Deseas pintar las cuentas usando $n$ colores, de tal manera que entre cada $n+1$ cuentas consecutivas, cada color aparezca al menos una vez. Encuentra el valor más grande de $m$ para el cual esta tarea $\emph{no}$ es posible.

Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos, tal que existen cuatro elementos distintos $a,b,c,d \in S$ con $\gcd(a,b) \neq \gcd(c,d)$ . Demuestra que existen tres elementos distintos $x,y,z \in S$ tales que $\gcd(x,y)=\gcd(y,z) \neq \gcd(z,x)$ .

Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen $$(f(a)-f(b))(f(b)-f(c))(f(c)-f(a)) = f(ab^2+bc^2+ca^2) - f(a^2b+b^2c+c^2a)$$ para todos los números reales $a$ , $b$ , $c$ .

Sea $n\geqslant 1$ un entero, y sean $x_0,x_1,\ldots,x_{n+1}$ sean $n+2$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1}-x_{i-1}^2\geqslant 1$ para todo $i=1,2,\ldots,n.$ Demuestra que \[x_0+x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}>\bigg(\frac{2n}{3}\bigg)^{3/2}.\]

Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$ . Suponga que, para cada $k=1,2,...,m$ , la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$ . Demuestra que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos con suma $1$ . Demuestra que $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{1-a_k}(a_1+a_2+\cdots+a_{k-1})^2 < \frac{1}{3}.$$

Demostrar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

Para cada entero $n\ge 1,$ calcule el valor más pequeño posible de \[\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{a_k}{k}\right\rfloor\] sobre todas las permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,\dots,n\}.$

¿Qué enteros positivos $n$ hacen que la ecuación \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left\lfloor \frac{ij}{n+1} \right\rfloor=\frac{n^2(n-1)}{4}\] sea verdadera?

Sea $n$ un entero positivo. Dado un subconjunto $A$ de $\{0,1,...,5^n\}$ con $4n+2$ elementos. Demostrar que existen tres elementos $a<b<c$ de $A$ tales que $c+2a>3b$.