Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$, se define como el entero más grande tal que, para cada entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$, se puede escribir como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. \na.) Demuestra que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4\,$. \nb.) Encuentra un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14\,$. \nc.) Demuestra que hay infinitos enteros $\,n\,$ tales que $\,S(n)=n^{2}-14.$

En el plano sea $\,C\,$ un círculo, $\,L\,$ una línea tangente al círculo $\,C,\,$ y $\,M\,$ un punto en $\,L$ . Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos $\,P\,$ con la siguiente propiedad: existen dos puntos $\,Q,R\,$ en $\,L\,$ tales que $\,M\,$ es el punto medio de $\,QR\,$ y $\,C\,$ es el círculo inscrito del triángulo $\,PQR$ .

Sea $ f(x) = x^8 + 4x^6 + 2x^4 + 28x^2 + 1.$ Sea $ p > 3$ un primo y supón que existe un entero $ z$ tal que $ p$ divide a $ f(z).$ Demuestra que existen enteros $ z_1, z_2, \ldots, z_8$ tales que si \[ g(x) = (x - z_1)(x - z_2) \cdot \ldots \cdot (x - z_8),\] entonces todos los coeficientes de $ f(x) - g(x)$ son divisibles por $ p.$

Sea $ \lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $ x.$ Elige cualquier $ x_1$ en $ [0, 1)$ y define la secuencia $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ por $ x_{n+1} = 0$ si $ x_n = 0$ y $ x_{n+1} = \frac{1}{x_n} - \left \lfloor \frac{1}{x_n} \right \rfloor$ en caso contrario. Demuestra que \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n+1}},\] donde $ F_1 = F_2 = 1$ y $ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $ n \geq 1.$

Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestra que: (a) la desigualdad $ \alpha(n) (n^2 ) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; (b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y (c) existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ Problema alternativo: Demuestra que existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$

Demuestra que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Cada elemento en $ M$ y la suma de cualquier número de elementos tiene la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

Para cualquier entero positivo $ x$ define $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{si \(x\) es par}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{si \(x\) es impar}. \end{cases} \] Construya la secuencia $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Muestre que el número 1992 aparece en esta secuencia, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.

Encuentre todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] es un divisor de $abc-1.$

Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Pruebe que existe un polinomio $ h$ con $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$