Si $n>4$ es un número compuesto, entonces $2n$ divide a $(n-1)!$.

Demuestre que $2^{147} - 1$ es divisible por $343$.

Sea $a$ un número real no nulo. Para cada entero $n$, definimos $S_n = a^n + a^{-n}$. Demuestre que si para algún entero $k$, las sumas $S_k$ y $S_{k+1}$ son enteros, entonces las sumas $S_n$ son enteros para todos los enteros $n$.

Dado un tetraedro $ABCD$. Sean $x = AB \cdot CD, y = AC \cdot BD$ y $z = AD\cdot BC$. Demuestre que existe un triángulo con lados de longitudes $x, y$ y $z$.

Sean $P_i (x_i, y_i)$ (con $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ) cinco puntos con coordenadas enteras, no tres colineales. Demuestre que entre todos los triángulos con vértices en estos puntos, al menos tres tienen áreas enteras.

Dado una bola $K$. Encuentre el lugar geométrico de los vértices $A$ de todos los paralelogramos $ABCD$ tales que $ AC \leq BD$, y la diagonal $BD$ se encuentra completamente dentro de la bola $K$.

Un círculo de radio 1 se coloca en una esquina de una habitación (es decir, toca el piso horizontal y dos paredes verticales perpendiculares entre sí). Encuentre el lugar geométrico del centro de la banda para todas sus posibles posiciones. Nota. Para la solución de este problema, es útil conocer el siguiente teorema de Monge: El lugar geométrico de todos los puntos $P$, tales que las dos tangentes desde $P$ a la elipse con ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ son perpendiculares entre sí, es un círculo − el llamado círculo de Monge − con ecuación $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$.

¿Es el número \[\sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} + \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2}\] racional o irracional?

Sean $OX, OY$ y $OZ$ tres rayos en el espacio, y $G$ un punto 'entre estos rayos' (i. e. en el interior de la parte del espacio bordeada por los ángulos $Y OZ, ZOX$ y $XOY$). Considere un plano que pasa por $G$ y se encuentra con los rayos $OX, OY$ y $OZ$ en los puntos $A, B, C$, respectivamente. Hay infinitos planos de este tipo; construir el que minimiza el volumen del tetraedro $OABC$.

Hallar el número positivo máximo $r$ con la siguiente propiedad: Si todas las alturas de un tetraedro son $\geq 1$, entonces una esfera de radio $r$ cabe dentro del tetraedro.