Sea $ABCD$ un tetraedro que tiene cada suma de lados opuestos igual a $1$. Demostrar que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, la igualdad se cumple solo si $ABCD$ es regular.

Demuestre que la suma de los ángulos de las caras en cada vértice de un tetraedro es un ángulo llano si y sólo si las caras son triángulos congruentes.

Se da un tetraedro $ABCD$ tal que $AD = BC = a; AC = BD = b; AB\cdot CD = c^2$ . Sea $f(P) = AP + BP + CP + DP$ , donde $P$ es un punto arbitrario en el espacio. Calcule el valor mínimo de $f(P).$

Sean $AX,BY,CZ$ tres cevianas concurrentes en un punto interior $D$ de un triángulo $ABC$ . Demuestre que si dos de los cuadriláteros $DY AZ,DZBX,DXCY$ son circunscribibles, entonces también lo es el tercero.

Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$ . Defina $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\ge4$ . Construya un conjunto de puntos $P_1,P_2,P_3,\ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro $A_{k+1}$ a través de un ángulo de $120^o$ en el sentido de las agujas del reloj para $k=0,1,2,\ldots$ . Demuestre que si $P_{1986}=P_0$ , entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ -ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$ . Un triángulo $XYZ$ , que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$ , se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el límite del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encuentra el lugar geométrico de $X$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices no se encuentran en un círculo. Sea $A'B'C'D'$ un cuadrángulo tal que $A',B', C',D'$ son los centros de los circuncírculos de los triángulos $BCD,ACD,ABD$ , y $ABC$ . Escribimos $T (ABCD) = A'B'C'D'$ . Definamos $A''B''C''D'' = T (A'B'C'D') = T (T (ABCD)).$ (a) Demuestre que $ABCD$ y $A''B''C''D''$ son similares. (b) La razón de similitud depende del tamaño de los ángulos de $ABCD$ . Determine esta razón.

El círculo inscrito en un triángulo $ABC$ toca los lados $BC,CA,AB$ en $D,E, F$ , respectivamente, y $X, Y,Z$ son los puntos medios de $EF, FD,DE$ , respectivamente. Demuestre que los centros del círculo inscrito y de los círculos alrededor de $XYZ$ y $ABC$ son colineales.

Una partícula se mueve desde $(0, 0)$ hasta $(n, n)$ dirigida por una moneda justa. Por cada cara se mueve un paso al este y por cada cruz se mueve un paso al norte. En $(n, y), y < n$ , permanece allí si sale cara y en $(x, n), x < n$ , permanece allí si sale cruz. Sea $k$ un entero positivo fijo. Encuentre la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$

A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números sea positiva. Si tres vértices consecutivos tienen asignados los números $x,y,z$ respectivamente, e $y<0$ , entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ se reemplazan por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determine si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.