Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$-ágono regular ($n\ge5$) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, que es congruente con $OAB$ e inicialmente coincide con él, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Hallar el lugar geométrico de $X$.

Un tablero cuadrado de $4$ x $4$ se llama $brasuca$ si cumple todas las condiciones: • cada casilla contiene uno de los números $0, 1, 2, 3, 4$ o $5$; • la suma de los números en cada línea es $5$; • la suma de los números en cada columna es $5$; • la suma de los números en cada diagonal de cuatro cuadrados es $5$; • el número escrito en la casilla superior izquierda del tablero es menor o igual que los demás números del tablero; • al dividir el tablero en cuatro cuadrados de $2$ × $2$, en cada uno de ellos la suma de los cuatro números es $5$. ¿Cuántos tableros $brasucas$ hay?

Hay una pila con $15$ monedas sobre una mesa. En cada paso, Pedro elige una de las pilas en la mesa con $a>1$ monedas y la divide en dos pilas con $b\geq1$ y $c\geq1$ monedas y escribe en el tablero el producto $abc$. Continúa hasta que haya $15$ pilas con $1$ moneda cada una. Determine todos los valores posibles que puede tener la suma final de los números en el tablero.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno agudo. $D$ y $E$ son puntos variables en las semirrectas $AB$ y $AC$ (con origen en $A$) tales que el simétrico de $A$ sobre $DE$ se encuentra en $BC$. Sea $P$ la intersección de los círculos con diámetro $AD$ y $AE$. Encuentra el lugar geométrico de $P$ al variar el segmento de línea $DE$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AC<BC$ y $\omega$ su circuncírculo. $M$ es el punto medio de $BC$. Se eligen los puntos $F$ y $E$ en $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AC=CF$ y $EB=EF$. La línea $AM$ interseca a $\omega$ en $D\neq A$. La línea $DE$ interseca a la línea $FM$ en $G$. Demuestra que $G$ se encuentra en $\omega$.

Dados $2021$ enteros positivos distintos no divisibles por $2^{1010}$, demuestra que siempre es posible elegir $3$ de ellos $a$, $b$ y $c$, tales que $|b^2-4ac|$ no sea un cuadrado perfecto.

Ari y Beri juegan un juego usando una baraja de $2020$ cartas con exactamente una carta con cada número del $1$ al $2020$. Ari recibe una carta con un número $a$ y la retira de la baraja. Beri ve la carta, elige otra carta de la baraja con un número $b$ y la retira de la baraja. Luego, Beri escribe en el tablero exactamente uno de los trinomios $x^2-ax+b$ o $x^2-bx+a$ de su elección. Este proceso continúa hasta que no queden cartas en la baraja. Si al final del juego cada trinomio escrito en el tablero tiene soluciones enteras, Beri gana. De lo contrario, Ari gana. Demuestra que Beri siempre puede ganar, sin importar cómo juegue Ari.

En un tablero de $3 \times 25$, se colocan piezas de $1 \times 3$ (vertical u horizontalmente) de modo que ocupen enteramente 3 casillas del tablero y no se toquen en ningún punto. ¿Cuál es el número máximo de piezas que se pueden colocar y, para ese número, cuántas configuraciones hay?

Determina las progresiones geométricas crecientes, con tres términos enteros, tales que la suma de estos términos es $57$

Determina los pares de números enteros positivos $m$ y $n$ que satisfacen la ecuación $m^2=n^2 +m+n+2018$ .