Para cada entero positivo $n$ , sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Determina el entero positivo más pequeño $a$ tal que haya infinitos enteros positivos $n$ para los cuales tengas $S (n) -S (n + a) = 2018$ .

En un triángulo $ABC$, recto en $A$ e isósceles, sea $D$ un punto en el lado $AC$ ( $A \ne D \ne C$ ) y $E$ sea el punto en la extensión de $BA$ tal que el triángulo $ADE$ es isósceles. Sea $P$ el punto medio del segmento $BD$ , $R$ sea el punto medio del segmento $CE$ y $Q$ el punto de intersección de $ED$ y $BC$ . Demuestra que el cuadrilátero $ARQP$ es un cuadrado.

Rellene las esquinas del cuadrado, de modo que la suma de los números en cada una de las $5$ líneas del cuadrado sea la misma y la suma de las cuatro esquinas sea $123$.

Sea $N$ un polígono convexo con 1415 vértices y perímetro 2001. Demostrar que podemos encontrar 3 vértices de $N$ que forman un triángulo de área menor que 1.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $D$, $E$ puntos en los lados $[AB]$ y $[AC]$ respectivamente. Si $DF$, $EF$ (con $F\in AE$, $G\in AD$) son las bisectrices del ángulo interior de los ángulos del triángulo $ADE$, demostrar que la suma de las áreas de los triángulos $DEF$ y $DEG$ es como máximo igual al área del triángulo $ABC$. ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C = 90^\circ$ y $CA \neq CB$. Sea $CH$ una altitud y $CL$ una bisectriz del ángulo interior. Demostrar que para $X \neq C$ en la línea $CL$, tenemos $\angle XAC \neq \angle XBC$. También demostrar que para $Y \neq C$ en la línea $CH$ tenemos $\angle YAC \neq \angle YBC$.

Resolver la ecuación $a^3+b^3+c^3=2001$ en enteros positivos.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Para empezar, Alice ordena los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra se puede colocar en el número $k$ a lo sumo $k$ veces. Los dos jugadores se turnan comenzando con Alice. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$ , determina quién tiene una estrategia ganadora.

Halla los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

Sean $r_2, r_3,\ldots, r_{1000}$ los residuos cuando un entero positivo impar se divide por $2,3,\ldots,1000$ , respectivamente. Se sabe que los residuos son distintos dos a dos y uno de ellos es $0$ . Halla todos los valores de $k$ para los cuales es posible que $r_k = 0$ .