Considera el triángulo $ABC$ tal que $AB \le AC$. El punto $D$ en el arco $BC$ del circuncírculo de $ABC$ que no contiene al punto $A$ y el punto $E$ en el lado $BC$ son tales que $\angle BAD = \angle CAE < \frac12 \angle BAC$. Sea $S$ el punto medio del segmento $AD$. Si $\angle ADE = \angle ABC - \angle ACB$ demuestra que $\angle BSC = 2 \angle BAC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB$ es el lado más corto del triángulo. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ un punto interior del triángulo tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$. Denotemos por $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $AC$, respectivamente. Sea $p$ la línea que pasa por $M$ paralela a $AC$ y $q$ la línea que pasa por $N$ paralela a $BC$. Si $p$ y $q$ se intersecan en $K$ demuestra que $D$ es el circuncentro del triángulo $MNK$.

Dado un paralelogramo $ABCD$. La línea perpendicular a $AC$ que pasa por $C$ y la línea perpendicular a $BD$ que pasa por $A$ se intersecan en el punto $P$. El círculo con centro en el punto $P$ y radio $PC$ interseca la línea $BC$ en el punto $X$, ($X \ne C$) y la línea $DC$ en el punto $Y$, ($Y \ne C$). Demuestra que la línea $AX$ pasa por el punto $Y$.

Tenemos dos montones con $2000$ y $2017$ monedas respectivamente. Ann y Bob toman turnos alternados haciendo los siguientes movimientos: El jugador cuyo turno es mover elige un montón con al menos dos monedas, elimina de ese montón $t$ monedas para algún $2\le t \le 4$, y agrega al otro montón $1$ moneda. Los jugadores pueden elegir un $t$ diferente en cada turno, y el jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Si Ann juega primero, determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Considera un 2n-gono regular $ P$, $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Coloreamos los lados de $P$ en 3 colores diferentes (ignore los vértices de $P$, los consideramos incoloros), de tal manera que cada lado esté coloreado en exactamente un color, y cada color se use al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver puntos de como máximo 2 colores diferentes en $P$. Encuentra el número de coloraciones distintas de $P$ (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente).

Considera un $2n + 1$ - gono regular $P$ en el plano, donde n es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Queremos colorear los lados de $P$ en $3$ colores, de tal manera que cada lado esté coloreado en exactamente un color, y cada color debe usarse al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver como máximo $2$ colores diferentes en $P$ (ignore los vértices de $P$, los consideramos incoloros). Encuentra el entero positivo más grande para el cual tal coloración es posible.

Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$ .Demuestra que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $a\le b\le c \le d$ demuestra que: $$ab^3+bc^3+cd^3+da^3\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2$$

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $3a^2 + 2b^2 = 3a + 2b$ . Encuentra el valor mínimo de $A =\sqrt{\frac{a}{b(3a+2)}} + \sqrt{\frac{b}{a(2b+3)}} $

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7$ . Demuestra que $\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 } + \sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6$ .