Sea $p$ un número primo fijo. Encontrar todos los enteros $n \ge 1$ con la siguiente propiedad: Se puede particionar los divisores positivos de $n$ en parejas $(d,d')$ satisfaciendo $d<d'$ y $p \mid \left\lfloor \frac{d'}{d}\right\rfloor$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. La altura desde $A$ interseca a $\omega$ en un punto $D \ne A$ y el segmento $AC$ interseca el circuncírculo de $OCD$ en un punto $E \ne C$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio de $BE$ . Demostrar que $DE$ es paralelo a $OM$ .

Dado un entero positivo $n \ge 2$ , sean $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ dos conjuntos, cada uno consistente en $n$ puntos en el espacio tridimensional. Suponga que estos $2n$ puntos son distintos. Demostrar que es posible etiquetar los puntos de $\mathcal{P}$ como $P_1,P_2,\dots,P_n$ y los puntos de $\mathcal{Q}$ como $Q_1,Q_2,\dots,Q_n$ tal que para cualquier índice $i$ y $j$ , las bolas de diámetros $P_iQ_i$ y $P_jQ_j$ tienen al menos un punto en común.

Sean $d$ y $m$ dos enteros positivos fijos. Pinocho y Geppetto conocen los valores de $d$ y $m$ y juegan el siguiente juego: Al principio, Pinocho elige un polinomio $P$ de grado como máximo $d$ con coeficientes enteros. Luego Geppetto le hace preguntas de la siguiente forma '¿Cuál es el valor de $P(n)$ ?' para $n \in \mathbb{Z}$ . Pinocho normalmente dice la verdad, pero puede mentir hasta $m$ veces. ¿Cuál es, como función de $d$ y $m$ , el número mínimo de preguntas que Geppetto necesita hacer para asegurarse de determinar $P$ , sin importar cómo Pinocho elija responder?

Encontrar todos los enteros $n \ge 2$ para los cuales existen $n$ enteros $a_1,a_2,\dots,a_n \ge 2$ tales que para todos los índices $i \ne j$ , tenemos $a_i \mid a_j^2+1$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $AC$ tal que $AB=AD$ . Sea $E$ la intersección de la línea $AB$ con la línea perpendicular a $AO$ que pasa por $D$ . Sea $F$ la intersección de la línea perpendicular a $OC$ que pasa por $C$ con la línea paralela a $AC$ y que pasa por $E$ . Finalmente, sean las líneas $CE$ y $DF$ que se intersecan en $G$ . Demostrar que $AG$ y $BF$ son paralelas.

Dados $n \ge 2$ puntos en un círculo, Alicia y Bob juegan el siguiente juego. Inicialmente, una ficha se coloca en uno de los puntos y no se dibuja ningún segmento. Los jugadores se alternan en turnos, comenzando Alicia. En un turno, un jugador mueve la ficha desde su posición actual $P$ a uno de los $n-1$ otros puntos $Q$ y dibuja el segmento $PQ$ . Este movimiento no está permitido si el segmento $PQ$ ya está dibujado. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y el oponente gana. Determinar, para cada $n$ , cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Encontrar el entero más grande $k$ con la siguiente propiedad: Siempre que los números reales $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ satisfacen\n\[x_1^2=(x_1+x_2)^2=\dots=(x_1+x_2+\dots+x_{2024})^2,\]\nal menos $k$ de ellos son iguales.

El área de un pentágono convexo $ABCDE$ es $S$ , y los circunradios de los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDE$ , $DEA$ , $EAB$ son $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ , $R_5$ . Demostrar la desigualdad \[ R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq {4\over 5\sin^2 108^\circ}S^2. \]

Sea $ A_n $ el conjunto de particiones de la secuencia $ 1,2,..., n $ en varias subsecuencias tales que cada dos términos vecinos de cada subsecuencia tienen diferente paridad, y $ B_n $ el conjunto de particiones de la secuencia $ 1,2,..., n $ en varias subsecuencias tales que todos los términos de cada subsecuencia tienen la misma paridad (por ejemplo, la partición $ {(1,4,5,8),(2,3),(6,9),(7)} $ es un elemento de $ A_9 $ , y la partición $ {(1,3,5),(2,4),(6)} $ es un elemento de $ B_6 $ ). Demostrar que para cada entero positivo $ n $ los conjuntos $ A_n $ y $ B_{n+1} $ contienen el mismo número de elementos.