Para cada número real $x$ , sea $||x||$ denote la distancia entre $x$ y el entero más cercano. Demuestra que para cada par $(a, b)$ de enteros positivos existe un primo impar $p$ y un entero positivo $k$ que satisface \[\displaystyle\left|\left|\frac{a}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{b}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{a+b}{p^k}\right|\right|=1.\]

Sea $c \ge 1$ un entero. Define una secuencia de enteros positivos por $a_1 = c$ y \[a_{n+1}=a_n^3-4c\cdot a_n^2+5c^2\cdot a_n+c\] para todo $n\ge 1$. Demuestra que para cada entero $n \ge 2$ existe un número primo $p$ que divide a $a_n$ pero a ninguno de los números $a_1 , \ldots , a_{n -1}$.

Sean $a_1 < a_2 < \cdots <a_n$ enteros positivos coprimos por pares con $a_1$ siendo primo y $a_1 \ge n + 2$. En el segmento $I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ]$ de la recta real, marca todos los enteros que son divisibles por al menos uno de los números $a_1 , \ldots , a_n$. Estos puntos dividen a $I$ en una cantidad de segmentos más pequeños. Demuestra que la suma de los cuadrados de las longitudes de estos segmentos es divisible por $a_1$.

Encuentra todas las ternas $(p, x, y)$ que consisten en un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambos potencias de $p$.

Sea $n > 1$ un entero dado. Demuestre que infinitos términos de la secuencia $(a_k )_{k\ge 1}$ , definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,\] son impares. (Para un número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el entero más grande que no excede a $x$ . )

Para cada entero positivo $n$ , el Banco de Ciudad del Cabo emite monedas de denominación $\frac1n$ . Dada una colección finita de tales monedas (de denominaciones no necesariamente diferentes) con un valor total a lo sumo $99+\frac12$ , demuestre que es posible dividir esta colección en $100$ o menos grupos, de modo que cada grupo tenga un valor total a lo sumo $1$ .

Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros positivos tales que \[\sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.\]

Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $A_n$ el conjunto \[A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}.\] Determine el entero positivo más grande que no se puede escribir como la suma de uno o más (no necesariamente distintos) elementos de $A_n$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ e incentro $I$. Sea la línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $CI$ que interseca el segmento $BC$ y el arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) de $\Omega$ en los puntos $U$ y $V$, respectivamente. Sea la línea que pasa por $U$ y es paralela a $AI$ que interseca a $AV$ en $X$, y sea la línea que pasa por $V$ y es paralela a $AI$ que interseca a $AB$ en $Y$. Sean $W$ y $Z$ los puntos medios de $AX$ y $BC$, respectivamente. Demuestra que si los puntos $I, X,$ e $Y$ son colineales, entonces los puntos $I, W ,$ y $Z$ también son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo fijo. Considera algunos puntos $E$ y $F$ que se encuentran en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$. Sea la bisectriz perpendicular de $EF$ que interseca la línea $BC$ en $K$, y sea la bisectriz perpendicular de $MK$ que interseca las líneas $AC$ y $AB$ en $S$ y $T$, respectivamente. Llamamos al par $(E, F )$ $\textit{interesante}$ , si el cuadrilátero $KSAT$ es cíclico. Supongamos que los pares $(E_1 , F_1 )$ y $(E_2 , F_2 )$ son interesantes. Demuestra que $\displaystyle\frac{E_1 E_2}{AB}=\frac{F_1 F_2}{AC}$