El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$. Los puntos $S$ y $T$ se encuentran en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, tales que $H$ se encuentra dentro del triángulo $SCT$ y\n\[\n\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}.\n\]\nDemuestra que la línea $BD$ es tangente al circuncírculo del triángulo $TSH$.

Considera un círculo fijo $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ en él. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$. Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ en $\Gamma$, sea $M$ el punto en el segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $AMP$ y $BMC$. Demuestra que cuando $P$ varía, el punto $Q$ se encuentra en un círculo fijo.

Sean $\Omega$ y $O$ el circuncírculo y el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > BC$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $\Omega$ en $M \ne B$. Sea $\Gamma$ el círculo con diámetro $BM$. Las bisectrices de los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ intersecan a $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. El punto $R$ se elige en la línea $P Q$ de modo que $BR = MR$. Demuestra que $BR\parallel AC$. (Aquí siempre asumimos que una bisectriz de un ángulo es un rayo.)

Sea $ABC$ un triángulo. Los puntos $K, L,$ y $M$ se encuentran en los segmentos $BC, CA,$ y $AB,$ respectivamente, tales que las líneas $AK, BL,$ y $CM$ se intersecan en un punto común. Demuestre que es posible elegir dos de los triángulos $ALM, BMK,$ y $CKL$ cuyas inradios suman al menos el inradio del triángulo $ABC$ .

Sean $P$ y $Q$ en el segmento $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ tales que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos en $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $P$ es el punto medio de $AM$ y $Q$ es el punto medio de $AN$ . Demuestre que la intersección de $BM$ y $CN$ está en la circunferencia del triángulo $ABC$ .

Hay $n$ círculos dibujados en una hoja de papel de tal manera que dos círculos cualesquiera se intersecan en dos puntos, y no tres círculos pasan por el mismo punto. Turbo el caracol se desliza a lo largo de los círculos de la siguiente manera. Inicialmente se mueve en uno de los círculos en el sentido de las agujas del reloj. Turbo siempre sigue deslizándose a lo largo del círculo actual hasta que llega a una intersección con otro círculo. Luego continúa su viaje en este nuevo círculo y también cambia la dirección del movimiento, es decir, de las agujas del reloj a las agujas del reloj o $\textit{vice versa}$ . Suponga que el camino de Turbo cubre completamente todos los círculos. Demuestre que $n$ debe ser impar.

Un mazo de cartas consta de $1024$ cartas. En cada carta, se escribe un conjunto de dígitos decimales distintos de tal manera que no haya dos de estos conjuntos que coincidan (por lo tanto, una de las cartas está vacía). Dos jugadores toman alternativamente cartas del mazo, una carta por turno. Una vez que el mazo está vacío, cada jugador comprueba si puede descartar una de sus cartas para que cada uno de los diez dígitos aparezca en un número par de sus cartas restantes. Si un jugador puede hacer esto pero el otro no, el que puede es el ganador; de lo contrario, se declara un empate. Determine todos los primeros movimientos posibles del primer jugador después de los cuales tiene una estrategia ganadora.

Sea $M$ un conjunto de $n \ge 4$ puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales. Inicialmente estos puntos están conectados con $n$ segmentos de modo que cada punto en $M$ es el punto final de exactamente dos segmentos. Luego, en cada paso, uno puede elegir dos segmentos $AB$ y $CD$ que compartan un punto interior común y reemplazarlos por los segmentos $AC$ y $BD$ si ninguno de ellos está presente en este momento. Demuestre que es imposible realizar $n^3 /4$ o más movimientos de este tipo.

Se nos da una baraja infinita de cartas, cada una con un número real en ella. Para cada número real $x$, hay exactamente una carta en la baraja que tiene $x$ escrito en ella. Ahora, dos jugadores sacan conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $100$ cartas cada uno de esta baraja. Nos gustaría definir una regla que declare a uno de ellos ganador. Esta regla debe satisfacer las siguientes condiciones:\n1. El ganador solo depende del orden relativo de las $200$ cartas: si las cartas se colocan en orden creciente boca abajo y se nos dice qué carta pertenece a qué jugador, pero no qué números están escritos en ellas, aún podemos decidir el ganador.\n2. Si escribimos los elementos de ambos conjuntos en orden creciente como $A =\{ a_1 , a_2 , \ldots, a_{100} \}$ y $B= \{ b_1 , b_2 , \ldots , b_{100} \}$ , y $a_i > b_i$ para todo $i$ , entonces $A$ vence a $B$.\n3. Si tres jugadores sacan tres conjuntos disjuntos $A, B, C$ de la baraja, $A$ vence a $B$ y $B$ vence a $C$ entonces $A$ también vence a $C$.\n¿De cuántas maneras se puede definir tal regla? Aquí, consideramos dos reglas como diferentes si existen dos conjuntos $A$ y $B$ tales que $A$ vence a $B$ según una regla, pero $B$ vence a $A$ según la otra.

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general corta el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de $n$ rectas en posición general es posible colorear al menos $\sqrt{n}$ rectas de azul de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga un borde completamente azul. Nota: Los resultados con $\sqrt{n}$ reemplazado por $c\sqrt{n}$ recibirán puntos dependiendo del valor de la constante $c$.