Construya un tetrominó uniendo dos dominós de $2 \times 1$ a lo largo de sus lados más largos de manera que el punto medio del lado más largo de un dominó sea una esquina del otro dominó. Esta construcción produce dos tipos de tetrominós con orientaciones opuestas. Llamémoslos tetrominós $S$ y $Z$, respectivamente. Asuma que un polígono reticular $P$ se puede teselar con tetrominós $S$. Demuestre que no importa cómo teselamos $P$ usando solo tetrominós $S$ y $Z$, siempre usamos un número par de tetrominós $Z$.

Sea $n \ge 2$ un entero. Considere un tablero de ajedrez de $n \times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ torres en este tablero es pacífica si cada fila y cada columna contiene exactamente una torre. Encuentre el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ torres, haya un cuadrado de $k \times k$ que no contenga una torre en ninguno de sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Tenemos $2^m$ hojas de papel, con el número $1$ escrito en cada una de ellas. Realizamos la siguiente operación. En cada paso elegimos dos hojas distintas; si los números en las dos hojas son $a$ y $b$, entonces borramos estos números y escribimos el número $a + b$ en ambas hojas. Demuestre que después de $m2^{m -1}$ pasos, la suma de los números en todas las hojas es al menos $4^m$.

Sean $n$ puntos dados dentro de un rectángulo $R$ tales que no hay dos de ellos que estén en una línea paralela a uno de los lados de $R$. El rectángulo $R$ debe ser diseccionado en rectángulos más pequeños con lados paralelos a los lados de $R$ de tal manera que ninguno de estos rectángulos contenga ninguno de los puntos dados en su interior. Demuestre que tenemos que diseccionar $R$ en al menos $n + 1$ rectángulos más pequeños.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que \[ n^2+4f(n)=f(f(n))^2 \] para todo $n\in \mathbb{Z}$.

Considere todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera dos números reales $x$ e $y$ se tiene que \[|y^2-P(x)|\le 2|x|\quad\text{si y sólo si}\quad |x^2-P(y)|\le 2|y|.\] Determine todos los valores posibles de $P(0)$.

Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que satisfacen \[f\big(f(m)+n\big)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014\] para todos los enteros $m$ y $n$ .

Para una secuencia $x_1,x_2,\ldots,x_n$ de números reales, definimos su $\textit{precio}$ como \[\max_{1\le i\le n}|x_1+\cdots +x_i|.\] Dados $n$ números reales, Dave y George quieren ordenarlos en una secuencia con un precio bajo. Diligent Dave comprueba todas las formas posibles y encuentra el precio mínimo posible $D$ . Greedy George, por otro lado, elige $x_1$ tal que $|x_1 |$ sea lo más pequeño posible; entre los números restantes, elige $x_2$ tal que $|x_1 + x_2 |$ sea lo más pequeño posible, y así sucesivamente. Por lo tanto, en el paso $i$ -ésimo elige $x_i$ entre los números restantes para minimizar el valor de $|x_1 + x_2 + \cdots x_i |$ . En cada paso, si varios números proporcionan el mismo valor, George elige uno al azar. Finalmente obtiene una secuencia con precio $G$ . Encuentre la menor constante posible $c$ tal que para cada entero positivo $n$ , para cada colección de $n$ números reales, y para cada posible secuencia que George pueda obtener, los valores resultantes satisfagan la desigualdad $G\le cD$ .

Definir la función $f:(0,1)\to (0,1)$ por \[\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+\frac 12 & \text{si}\ \ x < \frac 12\\ x^2 & \text{si}\ \ x \ge \frac 12 \end{array} \right.\] Sean $a$ y $b$ dos números reales tales que $0 < a < b < 1$ . Definimos las sucesiones $a_n$ y $b_n$ por $a_0 = a, b_0 = b$ , y $a_n = f( a_{n -1})$ , $b_n = f (b_{n -1} )$ para $n > 0$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que \[(a_n - a_{n-1})(b_n-b_{n-1})<0.\]

Sean $a_0 < a_1 < a_2 < \dots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Demuestre que existe un entero único $n\geq 1$ tal que \[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]