Sea $x > 1$ un número no entero. Demuestre que \[\biggl( \frac{x+\{x\}}{[x]} - \frac{[x]}{x+\{x\}} \biggr) + \biggl( \frac{x+[x]}{ \{x \} } - \frac{ \{ x \}}{x+[x]} \biggr) > \frac 92 \]

En el triángulo $ABC$, el ángulo $\alpha = \angle BAC$ y el lado $a = BC$ son dados. Asuma que $a = \sqrt{rR}$, donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio. Calcule todas las longitudes posibles de los lados $AB$ y $AC.$

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$ se intersecan en el punto $E$. Dado que $AB = 39, AE = 45, AD = 60$ y $BC = 56$, determine la longitud de $CD.$

Sean $x \geq y \geq z$ números reales tales que $xy + yz + zx = 1$. Demuestre que $xz < \frac 12.$ ¿Es posible mejorar el valor de la constante $\frac 12 \ ?$

Considera un polígono convexo que tiene $n$ vértices, $n\geq 4$ . Descomponemos arbitrariamente el polígono en triángulos que tienen todos los vértices entre los vértices del polígono, de tal manera que no haya dos de los triángulos que tengan puntos interiores en común. Pintamos de negro los triángulos que tienen dos lados que también son lados del polígono, de rojo si solo un lado del triángulo es también un lado del polígono y de blanco aquellos triángulos que no tienen lados que sean lados del polígono. Demuestra que hay dos triángulos negros más que blancos.

Si los enteros positivos $x$ e $y$ son tales que $3x + 4y$ y $4x + 3y$ son ambos cuadrados perfectos, demuestra que tanto $x$ como $y$ son divisibles por $7$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , sea $M$ el punto medio de su lado $AC$ , y sea $Z$ la línea que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ . El círculo que pasa por los puntos $B$ , $C$ , y $M$ interseca la línea $Z$ en los puntos $C$ y $Q$ . Encuentra el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$ .

Demuestra que la desigualdad \[ \frac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \frac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } \] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$ , no ambos iguales a 0.

Encontrar una función $f(x)$ definida para todos los valores reales de $x$ tal que para toda $x$ , \[f(x+ 2) - f(x) = x^2 + 2x + 4,\] y si $x \in [0, 2)$ , entonces $f(x) = x^2.$

Determinar si existen $1976$ triángulos no similares con ángulos $\alpha, \beta, \gamma,$ cada uno de ellos satisfaciendo las relaciones \[\frac{\sin \alpha + \sin\beta + \sin\gamma}{\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma}=\frac{12}{7}\text{ y }\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\frac{12}{25}\]