El polinomio $1976(x+x^2+ \cdots +x^n)$ se descompone en una suma de polinomios de la forma $a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ , donde $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos distintos no mayores que $n$ . Encontrar todos los valores de $n$ para los cuales tal descomposición es posible.

Demostrar que $5^n$ tiene un bloque de $1976$ ceros consecutivos en su representación decimal.

Sean $a,b,c,d$ números reales no negativos. Demostrar que \[ a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd \ge a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2.\]

Se nos dan $n (n \ge 5)$ círculos en un plano. Suponga que cada tres de ellos tienen un punto en común. Demostrar que todos los $n$ círculos tienen un punto en común.

Un círculo de radio $1$ rueda alrededor de un círculo de radio $\sqrt{2}$ . Inicialmente, el punto tangente se colorea de rojo. Posteriormente, los puntos rojos se mapean de un círculo a otro por contacto. ¿Cuántos puntos rojos habrá en el círculo más grande cuando el centro del más pequeño haya dado $n$ circuitos alrededor del más grande?

Demostrar que si para un polinomio $P(x, y)$ , tenemos \[P(x - 1, y - 2x + 1) = P(x, y),\] entonces existe un polinomio $\Phi(x)$ con $P(x, y) = \Phi(y - x^2).$

Para un punto $O$ dentro de un triángulo $ABC$, denotemos por $A_1,B_1, C_1,$ los respectivos puntos de intersección de $AO, BO, CO$ con los lados correspondientes. Sea \[n_1 =\frac{AO}{A_1O}, n_2 = \frac{BO}{B_1O}, n_3 = \frac{CO}{C_1O}.\] ¿Qué valores posibles de $n_1, n_2, n_3$ pueden ser todos enteros positivos?

Determinar el número más grande, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

Sea $g(x)$ un polinomio fijo con coeficientes reales y defina $f(x)$ por $f(x) =x^2 + xg(x^3)$. Demuestre que $f(x)$ no es divisible por $x^2 - x + 1$.

En $ ABC$, el círculo inscrito es tangente al lado $BC$ en $ X$. Se dibuja el segmento $ AX$. Demuestre que la línea que une el punto medio de $ AX$ con el punto medio del lado $ BC$ pasa por el centro $ I$ del círculo inscrito.