Dado un triángulo $ABC$, $\angle B= 2 \angle C$, y $\angle A>90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $AC$ en $C$ interseca a $AB$ en $D$. Muestre que $\angle AMB = \angle DMC$

En un triángulo rectángulo $ABC$ tal que $AB = AC$, $M$ es el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto en la bisectriz perpendicular de $AC$, que se encuentra en el semiplano determinado por $BC$ que no contiene a $A$. Las líneas $CP$ y $AM$ se intersecan en $Q$. Calcule los ángulos que forman las líneas $AP$ y $BQ$.

Sea $ABCD$ un rectángulo y el círculo de centro $D$ y radio $DA$, que corta la extensión del lado $AD$ en el punto $P$. La línea $PC$ corta el círculo en el punto $Q$ y la extensión del lado $AB$ en el punto $R$. Demuestre que $QB = BR$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que el triángulo $ABD$ es equilátero y el triángulo $BCD$ es isósceles, con $\angle C = 90^o$. Si $E$ es el punto medio del lado $AD$, determine la medida del ángulo $\angle CED$.

En el plano tenemos $16$ líneas (no paralelas y no concurrentes), tenemos $120$ punto(s) de intersecciones de estas líneas. Sebastián tiene que pintar estos $120$ puntos de manera que en cada línea todos los puntos pintados tengan colores diferentes, encuentre el mínimo (cantidad) de color(es) que Sebastián necesita para pintar estos puntos. Si tenemos $15$ líneas (en esta situación tenemos $105$ puntos), ¿cuál es el mínimo (cantidad) de color(es)?

Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto en el lado $AD$ tal que $\angle BPC = 90^o$. La perpendicular desde $A$ sobre $BP$ corta a $BP$ en $M$ y la perpendicular desde $D$ sobre $CP$ corta a $CP$ en $N$. Demuestre que el centro del rectángulo se encuentra en el segmento $MN$.

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle A = 2\angle C$ y $2\angle B = \angle A + \angle C$. La bisectriz del ángulo $\angle C$ interseca al segmento $AB$ en $E$, sea $F$ el punto medio de $AE$, sea $AD$ la altura del triángulo $ABC$. La bisectriz perpendicular de $DF$ interseca a $AC$ en $M$. Pruebe que $AM = CM$.

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$. Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Si el área del triángulo $ABC$ es $150$ y el área del triángulo $ACD$ es $120$, calcule el área del triángulo $BCO$.

En un triángulo $ABC$ con $AB = AC$, sea $M$ el punto medio de $CB$ y sea $D$ un punto en $BC$ tal que $\angle BAD = \frac{\angle BAC}{6}$. La línea perpendicular a $AD$ por $C$ interseca a $AD$ en $N$ donde $DN = DM$. Encuentre los ángulos del triángulo $BAC$.

El barco enemigo ha aterrizado en un tablero de $9\times 9$ que cubre exactamente $5$ cuadrados del tablero, así: La nave es invisible. Cada misil defensivo cubre exactamente un cuadrado y destruye la nave si golpea uno de los $5$ cuadrados que ocupa. Determine el número mínimo de misiles necesarios para destruir la nave enemiga con certeza.