Tenemos una mesa de billar de $8$ metros de largo y $2$ metros de ancho con una sola bola en el centro. Lanzamos la bola en línea recta y, después de recorrer $29$ metros, se detiene en una esquina de la mesa. ¿Cuántas veces golpeó la bola los bordes de la mesa? Nota: Cuando la bola rebota en el borde de la mesa, los dos ángulos que forman su trayectoria con el borde de la mesa son iguales.

Una hormiga, que está en un borde de un cubo de lado $8$, debe viajar sobre la superficie y regresar al punto de partida. Su camino debe contener puntos interiores de las seis caras del cubo y debe visitar sólo una vez cada cara del cubo. Encuentre la longitud del camino que la hormiga puede llevar a cabo y justifique por qué es el camino más corto.

Bob trazó $2003$ puntos verdes en el plano, de modo que todos los triángulos con tres vértices verdes tienen área menor que $1$. Pruebe que los $2003$ puntos verdes están contenidos en un triángulo $T$ de área menor que $4$.

Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB = 4$ y $BC = 3$. La perpendicular sobre la diagonal $BD$ trazada desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Llamamos $M$ al punto medio de $BH$ y $N$ al punto medio de $CD$. Calcular la medida del segmento $MN$.

En un triángulo $ABC$, recto en $A$ e isósceles, sea $D$ un punto en el lado $AC$ ( $A \ne D \ne C$ ) y $E$ sea el punto en la extensión de $BA$ tal que el triángulo $ADE$ es isósceles. Sea $P$ el punto medio del segmento $BD$, $R$ el punto medio del segmento $CE$ y $Q$ el punto de intersección de $ED$ y $BC$. Pruebe que el cuadrilátero $ARQP$ es un cuadrado.

Diez monedas de $1$ cm de radio se colocan alrededor de un círculo como se indica en la figura. Cada moneda es tangente al círculo y a sus dos monedas vecinas. Pruebe que la suma de las áreas de las diez monedas es el doble del área del círculo.

En el trapecio $ABCD$, el lado $DA$ es perpendicular a las bases $AB$ y $CD$. La base $AB$ mide $45$, la base $CD$ mide $20$ y el lado $BC$ mide $65$. Sea $P$ en el lado $BC$ tal que $BP$ mide $45$ y $M$ es el punto medio de $DA$. Calcular la medida del segmento $PM$.

Sea $S$ un círculo con radio $2$, sea $S_1$ un círculo, con radio $1$ y tangente, internamente a $S$ en $B$ y sea $S_2$ un círculo, con radio $1$ y tangente a $S_1$ en $A$, pero $S_2$ no es tangente a $S$. Si $K$ es el punto de intersección de la línea $AB$ y el círculo $S$, pruebe que $K$ está en el círculo $S_2$.

Dado un paralelogramo con área $1$ y construiremos líneas donde estas líneas conectan un vértice con un punto medio del lado no adyacente a este vértice; con las $8$ líneas formadas tenemos un octágono dentro del paralelogramo. Determine el área de este octágono

Hay $12$ puntos que son vértices de un polígono regular con $12$ lados. Rafael debe dibujar segmentos que tengan sus dos extremos en dos de los puntos dibujados. Se le permite que cada punto sea un extremo de más de un segmento y que los segmentos se intersecten, pero tiene prohibido dibujar tres segmentos que sean los tres lados de un triángulo en el que cada vértice sea uno de los $12$ puntos de partida. Encuentre el número máximo de segmentos que Rafael puede dibujar y justifique por qué no puede dibujar un número mayor de segmentos.