Determina los enteros positivos $n \ge 3$ tales que, para cada entero $m \ge 0$ , existen enteros $a_1, a_2,..., a_n$ tales que $a_1 + a_2 +...+ a_n = 0$ y $a_1a_2 + a_2a_3 + ...+a_{n-1}a_n + a_na_1 = -m$

¿Cuál es el número máximo de torres que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de manera que cada torre ataque exactamente a otras dos torres? (Decimos que dos torres se atacan entre sí si están en la misma línea o en la misma columna y entre ellas no hay otras torres.)

Sea $ABC$ un triángulo con $AB > AC$ . El punto $P \in (AB)$ es tal que $\angle ACP = \angle ABC$ . Sea $D$ la reflexión de $P$ en la línea $AC$ y sea $E$ el punto en el que la circunferencia circunscrita de $BCD$ se encuentra de nuevo con la línea $AC$ . Demuestra que $AE = AC$ .

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 = 3$ . Demuestra que $$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}+\frac{5}{c} \ge 4a^2 + 3b^2 + 2c^2$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Demuestra que la ecuación $x^2+y^2+z^2 = x+y+z+1$ no tiene soluciones racionales.

Encuentre una secuencia de enteros positivos $f(n)$ , $n \in \mathbb{N}$ tal que $(1)$ $f(n) \leq n^8$ para cualquier $n \geq 2$ , $(2)$ para cualquier número natural distintivo por parejas $a_1,a_2,\cdots, a_k$ y $n$ , tenemos que $$f(n) \neq f(a_1)+f(a_2)+ \cdots + f(a_k)$$

Determine todas las soluciones enteras de la ecuación $x^n+y^n=1994$ donde $n\geq 2$

Sea $n$ un entero positivo. Encuentre el número de polinomios $P(x)$ con coeficientes en $\{0, 1, 2, 3\}$ para los cuales $P(2) = n$ .

Sea $p$ un número primo (positivo). Suponga que los números reales $a_1, a_2, . . ., a_{p+1}$ tienen la propiedad de que, cada vez que se elimina uno de los números, los números restantes se pueden dividir en dos clases con la misma media aritmética. Muestre que estos números deben ser iguales.

Sean dos círculos concéntricos de radios $R$ y $R_1 > R$ . Sea el cuadrilátero $ABCD$ inscrito en el círculo más pequeño y sean los rayos $CD, DA, AB, BC$ que se encuentran con el círculo más grande en $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Pruebe que $$ \frac{\sigma(A_1B_1C_1D_1)}{\sigma(ABCD)} \geq \frac{R_1^2}{R^2}$$ donde $\sigma(P)$ denota el área de un polígono $P.$