Sea $d$ la tangente en $B$ a la circunferencia circunscrita del triángulo escaleno agudo $ABC$ . Sea $K$ la proyección ortogonal del ortocentro, $H$ , del triángulo $ABC$ a la línea $d$ y $L$ el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que el triángulo $BKL$ es isósceles.

Si $x, y$ y $z$ son números reales tales que $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ , demuestre que $x + y + z \le xyz + 2$ .

Sea $n$ un entero no negativo y $M =\{n^3, n^3+1, n^3+2, ..., n^3+n\}$ . Considere $A$ y $B$ dos subconjuntos no vacíos y disjuntos de $M$ tales que la suma de los elementos del conjunto $A$ divide a la suma de los elementos del conjunto $B$ . Demuestre que el número de elementos del conjunto $A$ divide al número de elementos del conjunto $B$ .

Ana y Bogdan juegan el siguiente juego por turnos: Ana comienza con una pila de $n$ ( $n \ge 3$ ) piedras. En su turno, cada jugador tiene que dividir una pila. El ganador es el jugador que puede hacer que en su turno todas las pilas tengan como máximo dos piedras. Dependiendo de $n$ , determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ el incentro, $D$ el punto de contacto de la circunferencia inscrita con el lado $BC$ y $E$ el pie de la bisectriz del ángulo $A$ . Si $M$ es el punto medio del arco $BC$ que contiene el punto $A$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y $\{F\} = DI \cap AM$ , demuestre que $MI$ pasa por el punto medio de $[EF]$ .

Encuentre el valor máximo de: $E(a,b)=\frac{a+b}{(4a^2+3)(4b^2+3)}$ Para $a,b$ números reales.

Sea $n$ un entero positivo dado. Determine todos los divisores positivos $d$ de $3n^2$ tales que $n^2 + d$ sea el cuadrado de un entero.

Encuentre todas las soluciones enteras positivas $ x, y, z$ de la ecuación $ 3^x + 4^y = 5^z.$

a) ¿Existen rectángulos de $1\times \dfrac12$ rectángulos ubicados estrictamente dentro del interior de un cuadrado unitario? b) Encuentre el número mínimo de triángulos equiláteros de lado unitario que pueden cubrir completamente un cuadrado unitario.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un tetraedro. Considere la esfera centrada en $A_1$ que es tangente a la cara $A_2A_3A_4$ del tetraedro. Demuestre que el área de la superficie de la parte de la esfera que está dentro del tetraedro es menor que el área del triángulo $A_2A_3A_4$ .