¿Es posible poner $\binom{n}{2}$ números naturales consecutivos en las aristas de un grafo completo con $n$ vértices de forma que para cada camino (o ciclo) de longitud $3$ donde los números $a,b$ y $c$ están escritos en sus aristas (la arista $b$ está entre las aristas $c$ y $a$ ) , $b$ es divisible por el máximo común divisor de los números $a$ y $c$ ?

El pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo $w$ . Supón que $w_a,w_b,w_c,w_d,w_e$ son reflexiones de $w$ con respecto a los lados $AB,BC,CD,DE,EA$ respectivamente. Sea $A'$ el segundo punto de intersección de $w_a,w_e$ y define $B',C',D',E'$ similarmente. Demuestra que\n\[2\le \frac{S_{A'B'C'D'E'}}{S_{ABCDE}}\le 3,\]\ndonde $S_X$ denota la superficie de la figura $X$ .

La función $f:\mathbb R^{\ge 0} \longrightarrow \mathbb R^{\ge 0}$ satisface las siguientes propiedades para todo $a,b\in \mathbb R^{\ge 0}$ :\na) $f(a)=0 \Leftrightarrow a=0$\nb) $f(ab)=f(a)f(b)$\nc) $f(a+b)\le 2 \max \{f(a),f(b)\} $. Demuestra que para todo $a,b\in \mathbb R^{\ge 0}$ tenemos $f(a+b)\le f(a)+f(b)$ .

Considera $m+1$ líneas horizontales y $n+1$ líneas verticales ( $m,n\ge 4$ ) en el plano formando una tabla de $m\times n$. Considera un camino cerrado en los segmentos de esta tabla tal que no se interseca a sí mismo y también pasa por todos los $(m-1)(n-1)$ vértices interiores (cada vértice es un punto de intersección de dos líneas) y no pasa por ninguno de los vértices exteriores. Supón que $A$ es el número de vértices tales que el camino pasa a través de ellos directamente, $B$ es el número de cuadrados de la tabla que sólo dos de sus lados opuestos son usados en el camino, y $C$ es el número de cuadrados de la tabla que ninguno de sus lados es usado en el camino. Demuestra que\n\[A=B-C+m+n-1.\]

Sea $n$ un entero positivo. Sea $S$ un subconjunto de puntos en el plano con estas condiciones: $i)$ No existen $n$ líneas en el plano tales que cada elemento de $S$ esté en al menos una de ellas. $ii)$ para todo $X \in S$ existen $n$ líneas en el plano tales que cada elemento de $S - {X} $ esté en al menos una de ellas. Encuentra el máximo de $\mid S\mid$ .

Considera $\omega$ como la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . $D$ es el punto medio del arco $BAC$ e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ . Sea $DI$ que intersecta a $BC$ en $E$ y a $\omega$ por segunda vez en $F$ . Sea $P$ un punto en la línea $AF$ tal que $PE$ es paralelo a $AI$ . Demuestra que $PE$ es la bisectriz del ángulo $BPC$ .

Encontrar todos los enteros positivos $n \geq 2$ tales que para todos los enteros $i,j$ tales que $ 0 \leq i,j\leq n$ , $i+j$ y $ {n\choose i}+ {n \choose j}$ tienen la misma paridad.

En el triángulo $\triangle ABC$ los puntos $M,N$ están en $BC$ tal que: $\angle BAM= \angle MAN= \angle NAC$. Los puntos $P,Q$ están en la bisectriz del ángulo $BAC$, en el mismo lado de $BC$ que $A$, tal que:\n\n$$\frac{1}{3} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BPC = \angle BQC$$\n\nSean $E = AM \cap CQ$ y $F = AN \cap BQ$. Pruebe que las tangentes comunes a $(EPF), (EQF)$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$, son concurrentes.

En el triángulo $\triangle ABC$, $M$ es el punto medio del arco $(BAC)$ y $N$ es la antípoda de $A$ en $(ABC)$. La línea que pasa por $B$ perpendicular a $AM$, intersecta $AM , (ABC)$ en $D,P$ respectivamente y una línea que pasa por $D$ perpendicular a $AC$, intersecta $BC,AC$ en $F,E$ respectivamente. Pruebe que $PE,MF,ND$ son concurrentes.

En el triángulo $\triangle ABC$, $I$ es el incentro y $M$ es el punto medio del arco $(BC)$ en la circunferencia circunscrita de $(ABC)$ no conteniendo $A$. Sea $X$ un punto arbitrario en la bisectriz del ángulo externo de $A$. Sea $BX \cap (BIC) = T$. $Y$ está en $(AXC)$, diferente de $A$, tal que $MA=MY$. Pruebe que $TC || AY$ (Asuma que $X$ no está en $(ABC)$ o $BC$ )